01背包,完全背包,多重背包的个人总结

大一刚接触背包问题的时候就觉得绕。那时候真的是一点代码基础都没有强行去理解。每次都是以失败告终,一直到大二都还不会写背包问题。

后来某次模拟赛之后碰到了背包问题,觉得这个还是挺简单的,终于是下定决心准备搞一搞这个东西了。

有了一定的基础理解起来就比以前容易多了。

首先,先分清楚这三个背包问题。

1.01背包:有n种物品与承重为m的背包。每种物品只有一件,每个物品都有对应的重量weight[i]与价值value[i],求解如何装包使得价值最大。

2.完全背包:有n种物品与承重为m的背包。每种物品有无限多件,每个物品都有对应的重量weight[i]与价值value[i],求解如何装包使得价值最大。

3.多重背包:有n种物品与承重为m的背包。每种物品有有限件num[i],每个物品都有对应的重量weight[i]与价值value[i],求解如何装包使得价值最大。

啊,说真的大一的我听了这些已经趴下去睡觉了。

但是真的比对起来会发现,其实这些问题都是很类似的,三种背包就是三个约束条件不一样而已。

那么针对不同的约束条件,开始解决问题。

(一)关于01背包

呐,为什么叫它01背包呢,因为装进去就是1,不装进去就是0.所以针对每个物品就两种状态,装,不装(请允许我用这么老套的开篇,相信听过很多次背包讲解的人,大多都是这个开篇的)所以咯,我这个背包啊,只要有足够大的空间,这个物品是有可能被装进去的咯。

所以有状态转移方程

dp[i][j] = max( dp[i-1][j] , dp[i-1][ j - weight[i] ] + value[i] )

然后二维数组的代码写法分分钟就出来了,反正都是跟前一个状态去转移,也没有什么写法上的限制。

#include
using namespace std;
int dp[1005][1005];
int weight[1005];
int value[1005];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>m>>n;
    memset(dp,0,sizeof(dp));//数组清空,其实同时就把边界给做了清理
    for(int i=1; i<=n; i++)
        cin>>weight[i]>>value[i];
    //从1开始有讲究的因为涉及到dp[i-1][j],从0开始会越界
    for(int i=1; i<=n; i++)//判断每个物品能否放进
    {
        for(int j=0; j<=m; j++)//对每个状态进行判断
        //这边两重for都可以倒着写,只是需要处理最边界的情况,滚动数组不一样
        {
            if(j>=weight[i])//能放进
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]);

            else dp[i][j]=dp[i-1][j];//不能放进
        }
    }
    cout<

然后啊,我们来仔细分析分析就会发现,这个数组开销还是很大的,因为是二维的,万一哪个数据一大,分分钟内存超限,因此有了下边的解法

传说中的---------------滚动数组!!!

啊?什么是滚动数组。

说白了二维数组只是把每个物品都跑一遍,然后到最后一个物品的时候输出答案,那么过程值只是计算的时候用一次,我没必要存下来。所以用一个数组去滚动存储,然后用后一个状态的值去覆盖前面一个状态。然后形象的叫它:滚动数组(ma!dan!一点都不形象,我理解了好久)

好吧,假装很形象。

那么问题来了,怎么样用一维的去代替二维的工作,或者说怎么去思考。这是一个难点。

那么我们想,遍历物品的那个for肯定不能省去,然后里边的for也不能省。。。。那么。就把那个i给他删了吧,好像确实没啥用哦。

然后就出现了这样的代码

 for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        for(int j=weight[i]; j<=m; j++)
        {
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);
        }
    }

看上去好像很厉害的样子,但是这个绝对是错的,因为第二个for里存在某个dp[j]被改动过,然后再次影响到更大的j。就像我们再对一个数组进行移位操作,一不小心就全部成了一样的数。(别笑,你们以前肯定碰到过|||- -)

额。。回到正题,上边的代码会有重复影响,确实歪打正着的碰上了另一个背包。这个另说,现在附上正确的思路。

#include
using namespace std;
int dp[1005];//滚动数组的写法,省下空间省不去时间
int weight[1005];
int value[1005];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>m>>n;
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=1; i<=n; i++)
        cin>>weight[i]>>value[i];
    for(int i=1; i<=n; i++)//对每个数判断,可反
    {
        for(int j=m; j>=weight[i]; j--)//这里这个循环定死,不能反,反了就是完全背包
        {
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);//其实不断在判断最优解,一层一层的
        }
    }
    cout<
其实就是规定从m开始循环,保证了选择这个物品时,肯定不会重复使用状态。

(二)关于完全背包

就像先前讲的,完全背包是每个物品都无限,那么我只要对着一个性价比最高的物品狂选就是了啊。??

是吗?有瑕疵啊!

反例一批一批的啊,认死了选性价比最高的,不一定是完全填满背包的啊,万一最后一个是刚好填满背包的,而且价格凑起来刚好比全选性价比最高的物品高的情况比比皆是啊。

啊?什么,特判最后一个状态?

你在搞笑吗|||- -,那我再往前推到倒数第二件,第三件咋办。总不能对每个物品都特判吧。

所以正解就是动态规划。状态转移方程如下:

dp[i][j] = max ( dp[i-1][j - k*weight[i]] +k*value[i] )     0<=k*weight[i]<=m

这样看是不是还要多一重for去算k(既放入这个物品的个数)

那么这里二维数组就不如一维的了。

上代码:

#include
using namespace std;
int dp[100005];//m
struct Node{
    int a,b;
}node[1005];//n

int main(){
    int n;
    while(~scanf("%d",&n)){
        for(int i=0;i

特意换了一种写法让整体的代码结构看上去更像背包一点。

其中第二个for中是从小到大遍历的。这样就是要利用这种影响(因为物品不知道取几个呀,能取就减咯,这种影响正好就是这个题目的意思)

(三)关于多重背包

理解了前面两种背包,那么第三种背包理解起来就毫不费力了

首先这种可以把物品拆开,把相同的num[i]件物品 看成 价值跟重量相同的num[i]件不同的物品,那么!!是不是就转化成了一个规模稍微大一点的01背包了。对不对!!对不对!!

No BB, show me the code!!

哦, 客官,您要的代码:

#include
using namespace std;
int dp[1005];
int weight[1005],value[1005],num[1005];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=1; i<=n; i++)
        cin>>weight[i]>>value[i]>>num[i];
        
    for(int i=1; i<=n; i++)//每种物品
        
        for(int k=0; k=weight[i]; j--)//正常的01背包代码
            
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);
    
    cout<

那只是一种理解方法,其实正规的应该是这样的

dp[i][j] = max ( dp[i-1][j - k*weight[i]] +k*value[i] )     0<=k<=num[i](这个跟完全背包差点就一毛一样了啊喂|||- -)

那么还是用滚动数组来写,而且还又优化了下

代码参考:http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8563283

#include
using namespace std;
const int N = 1005;

int dp[N];
int c[N],w[N],num[N];
int n,m;

void ZeroOne_Pack(int cost,int weight,int n)//吧01背包封装成函数
{
    for(int i=n; i>=cost; i--)
        dp[i] = max(dp[i],dp[i-cost] + weight);
}

void Complete_Pack(int cost,int weight,int n)//把完全背包封装成函数
{
    for(int i=cost; i<=n; i++)
        dp[i] = max(dp[i],dp[i-cost] + weight);
}

int Multi_Pack(int c[],int w[],int num[],int n,int m)//多重背包
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=1; i<=n; i++)//遍历每种物品
    {
        if(num[i]*c[i] > m)
            Complete_Pack(c[i],w[i],m);
            //如果全装进去已经超了重量,相当于这个物品就是无限的
            //因为是取不光的。那么就用完全背包去套
        else
        {
            int k = 1;
            //取得光的话,去遍历每种取法
            //这里用到是二进制思想,降低了复杂度
            //为什么呢,因为他取的1,2,4,8...与余数个该物品,打包成一个大型的该物品
            //这样足够凑出了从0-k个该物品取法
            //把复杂度从k变成了logk
            //如k=11,则有1,2,4,4,足够凑出0-11个该物品的取法
            while(k < num[i])
            {
                ZeroOne_Pack(k*c[i],k*w[i],m);
                num[i] -= k;
                k <<= 1;
            }
            ZeroOne_Pack(num[i]*c[i],num[i]*w[i],m);
        }
    }
    return dp[m];
}

int main()
{
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>m>>n;
        for(int i=1; i<=n; i++)
            cin>>c[i]>>w[i]>>num[i];
        cout<

帮助个人学习用,如果帮到大家的话也是极好的。

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