算法导论 4-3

1 题目

参数传递的代价

整个这本书中，我们都假定过程调用中的参数传递所花时间是常数，即使所传递的参数是N个元素的数组也是一样。这个假设对大多数系统都是有效的，因为当参数为数组时，所传递的只是指向该数组的指针，而不是该数组本身。本题讨论三种参数传递策略：

1. 数组是由一个指针来传递。时间=Θ(1)。
2. 参数数组通过复制而传递。时间Θ(N)，N是该数组的大小。
3. 一个数组在被传递时，仅拷贝调用过程可能引用的数组的子域。若传递的是子数组 A[p..q]。时间=Θ(p-q+1)。

a) 对于二分查找2.3-5 针对上面的三种参数传递策略，给出最坏情况运行时间的递归式，并给出其解的上界。可以设N为原问题的规模，n为子问题的规模。

b) 重做2.3.1节中MERGE_ SORT的a)部分。

2 分析与解答

a)

1. T(n)=T(n/2)+Θ(1)+Θ(1)=O(lgn)
2. T(n)=T(n/2)+Θ(N)+Θ(1)=T(n/2)+Θ(N)=T(n/4)+2Θ(N)=..=O(Nlgn)=O(nlgn)
3. T(n)=T(n/2)+Θ(n/2)+Θ(1)=T(n/2)+Θ(n)=O(n)

b) 归并排序的递归式为T(n)=2T(n/2)+Θ(n)

1. T(n)=2T(n/2)+Θ(1)+Θ(n)=2T(n/2)+Θ(n)=O(nlgn)
2. T(n)=2T(n/2)+Θ(N)+Θ(n)，画出递归树

   
   

   从递归树得，
   T(n)=∑_i=0^{lgn - 1}(n+(i+1)N) + n(T(1)+N)=lg² n*N/2 +(n+N/2)lgn + nT(1) + nN = O(nN) = O(n² )

3. T(n)=2T(n/2)+2Θ(n/2)+Θ(n)=2T(n/2)+Θ(n)=O(nlgn)