3D 坐标变换 公式 推导

更新 ¹ [用抽象代数讨论仿射变换和仿射空间中的坐标变换] ，以下是之前的内容。

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下面使用行向量：

e1=(1,0,0)
e2=(0,1,0)
e3=(0,0,1)
i, j, k是三个线性无关的向量²，它们在e1,e2,e3坐标系下的坐标也记作i,j,k
i’, j’, k’是三个线性无关的向量，它们在e1,e2,e3坐标系下的坐标也记作i’, j’, k’

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$$denote\left[\begin{array}{c}i\\ j\\ k\end{array}\right]=A,\left[\begin{array}{c}{i}^{\prime }\\ j^{\prime }\\ k^{\prime }\end{array}\right]=B$$


已知点P相对于Oijk的坐标是(x,y,z)
则点P相对于O’i’j’k’的坐标：

$$(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })=((x,y,z)A+(O-O^{\prime }))B^{-1}$$

若B是正交矩阵，就不用求逆了，求转置就是。
特别地，
若O=(0,0,0),i=e1,j=e2,k=e3,则
$$(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })=((x,y,z)-O^{\prime }))B^{-1}$$

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##推导

设点P相对于O’i’j’k’的坐标是(x’,y’,z’)

$$\because P=O+(x,y,z)A=O^{\prime }+(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })B$$
$$\therefore (x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })=((x,y,z)A+(O-O^{\prime }))B^{-1}$$

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##补充
记 $B=AM(M=A^{-1}B)$，即M是把i,j,k变换到i’,j’,k’的变换矩阵，
$$\therefore (x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })=((x,y,z)A+(O-O^{\prime }))M^{-1}{A}^{-1}$$
特别地，
若O=(0,0,0),i=e1,j=e2,k=e3,则
$$(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })=((x,y,z)-O^{\prime }))M^{-1}andM=B$$

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应用

实际应用中，用到的一般都是O=(0,0,0),i=e1,j=e2,k=e3的特殊情况，
这是因为：问题在描述O’i’j’k’坐标的时候一般都是相对于Oikj而言的；
这里没有绝对的坐标系，仿射空间中任何一个点都看以看成(0,0,…0)，任意一组基都可以看成{(1,0,…0), (0,1,…0), (0,0,…1)}。
$$(x,y,z,1)\left[\begin{array}{cc}{M}^{-1}& 0\\ -O^{\prime }{M}^{-1}& 1\end{array}\right]=(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },1)$$
$$\left[\begin{array}{cc}{M}^{-1}& 0\\ -O^{\prime }{M}^{-1}& 1\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}M& 0\\ O^{\prime }& 1\end{array}\right]}^{-1}$$

换个角度理解

点P不动，把坐标架O,i,j,k变换到O’,i’,j’,k’，则变换矩阵是$\left(\begin{array}{cc}M& 0\\ O^{\prime }& 1\end{array}\right)$, M=B,
就相当于 坐标架不动，点P逆着上述变换，变换到新坐标。

变换的两种方式

①先原地变换坐标架，再平移坐标架
$$\left[\begin{array}{cc}B& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}I& 0\\ O^{\prime }& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}B& 0\\ O^{\prime }& 1\end{array}\right]$$
②先平移坐标架，再相对平移之后的原点变换坐标架
$$\left[\begin{array}{cc}I& 0\\ O^{\prime }& 1\end{array}\right]X=\left[\begin{array}{cc}B& 0\\ O^{\prime }& 1\end{array}\right]X=\left[\begin{array}{cc}B& 0\\ O^{\prime }-O^{\prime }B& 1\end{array}\right]$$
X可以看成先平移回原点，相对原点 原地变换 坐标架，再平移过去：
$$X=\left[\begin{array}{cc}B& 0\\ -O^{\prime }B& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}I& 0\\ O^{\prime }& 1\end{array}\right]$$
$$\left[\begin{array}{cc}B& 0\\ -O^{\prime }B& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}I& 0\\ -O^{\prime }& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}B& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$

注意到 X 与 $\left(\begin{array}{cc}B& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ 是相似矩阵，正是同一(4维的)线性变换在不同基下的坐标表示。³

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1. Someone in the comments missed it. 所以加粗了。 ↩︎

2. @评论，不要求 i,j,k 的单位长度和正交性。 ↩︎

3. http://blog.csdn.net/u010476094/article/details/50551014 ↩︎