泰森多边形（Voronoi图）的matlab绘制
泰森多边形（Voronoi图）的matlab绘制
1.泰森多边形的介绍
泰森多边形是对空间平面的一种剖分，其特点是多边形内的任何位置离该多边形的样点（如居民点）的距离最近，离相邻多边形内样点的距离远，且每个多边形内含且仅包含一个样点。由于泰森多边形在空间剖分上的等分性特征，因此可用于解决最近点、最小封闭圆等问题，以及许多空间分析问题，如邻接、接近度和可达性分析等。
泰森多边形的构建可以分为2个步骤，1是Delaunay三角网的构建，2是三角网格外接圆心得连线。
在上一片文章中我已经介绍了Delaunay三角网实现的原理，所以这篇文章主要介绍一下如何利用已经构建的Delaunay三角网绘制Voronoi图。
二维Delaunay（德洛内）三角网的matlab实现 https://blog.csdn.net/weixin_42943114/article/details/82262122
彩色的Voronoi图算法参见：https://blog.csdn.net/weixin_42943114/article/details/82461228
2.算法实现
2.0 matlab自带函数算法
%采用matlab自带的函数进行绘制
clear
xdot=gallery('uniformdata',[200 2],5);
%delaunay三角形
figure(1)
DT=delaunayTriangulation(xdot);
triplot(DT,'color','k')
%voronoi三角形
figure(2)
voronoi(xdot(:,1),xdot(:,2));
xlim([0,1])
ylim([0,1])
2.1 Delaunay三角算法
首先是上一篇文章的Delaunay三角伪算法：
input: 顶点列表(vertices) //vertices为外部生成的随机或乱序顶点列表
output:已确定的三角形列表(triangles)
初始化顶点列表
创建索引列表(indices = new Array(vertices.length)) //indices数组中的值为0,1,2,3,......,vertices.length-1
基于vertices中的顶点x坐标对indices进行sort //sort后的indices值顺序为顶点坐标x从小到大排序（也可对y坐标，本例中针对x坐标）
确定超级三角形
将超级三角形保存至未确定三角形列表（temp triangles）
将超级三角形push到triangles列表
遍历基于indices顺序的vertices中每一个点 //基于indices后，则顶点则是由x从小到大出现
初始化边缓存数组（edge buffer）
遍历temp triangles中的每一个三角形
计算该三角形的圆心和半径
如果该点在外接圆的右侧
则该三角形为Delaunay三角形，保存到triangles
并在temp里去除掉
跳过
如果该点在外接圆外（即也不是外接圆右侧）
则该三角形为不确定 //后面会在问题中讨论
跳过
如果该点在外接圆内
则该三角形不为Delaunay三角形
将三边保存至edge buffer
在temp中去除掉该三角形
对edge buffer进行去重
将edge buffer中的边与当前的点进行组合成若干三角形并保存至temp triangles中
将triangles与temp triangles进行合并
除去与超级三角形有关的三角形
end
算法最终输出的三角形列表trimat包含三个点的编号。
算法来源参见如下：
三角剖分算法(delaunay) http://www.cnblogs.com/zhiyishou/p/4430017.html
###2.2 Delaunay三角算法的凸边形检测
之后对上述算法得到的三角形网格的边缘进行进一步处理，使得图像变为凸型
输入上一算法中得到的trimat
更新三角网格边缘三角形border_trimat
更新三角网格边缘点border_point
更新三角形网格之间的关系，即与每个三角形相邻的三角形trimat_con
整理边缘点border_point顺序，使得顺时针（或逆时针）成为当前图像最外边缘
依次循环边缘点的每一个点j
按顺时针（或逆时针）做该点j与间隔点j+2的线段（border_point的顺序）
求线段与点j+1相关的所有线段（或延长线）是否相交
如果相交
该点为图形边缘的突出点，忽略
如果与所有点j+1相关的线段（或延长线）不相交
该点为图形边缘凹陷点，连接
返回最开始更新步骤
输出trimat_con
之后拿一个图形做例子，这是没有进行凸型检测之前的Delaunay三角网
三角网格的边缘点border_point为[3 1;1 2;2 5;5 4;4 9;9 10;10 3;3 1]，构成了首尾相连的一串边缘点。
检测线段32，中间点为1，1相关的线段只有12和13，与线段32重复，是突出点
检测线段15，中间点为2，2相关的线段有21、23、27、25，跑去15重复剩下23和27，线段15与23和27的射线都不相交，所以线段15是一个有效线段，2是凹点。连接线段15，更新border_point。
更新一次的三角网格如下
三角网格的边缘点border_point为[3 1;1 5;5 4;4 9;9 10;10 3;3 1]
检测线段35，中间点是1，1相关线段有13、12、15，删掉35重复的，剩下12。线段35和射线12相交（注：和线段12不相交但和射线12相交），所以35不是有效线段，1是凸点，忽略。
检测线段14，中间点是5，5相关线段有51、52、57、56、54，抛去14重复的，都不相交，说明14是有效线段。连接线段14，更新border_point。
更新后的图像如下：
三角网格的边缘点border_point为[3 1;1 4;4 9;9 10;10 3;3 1]
然后依次循环3-4、1-9、4-10、9-3、10-1，发现都相交
所以这个图形是凸边形，结束循环。
这部分的代码如下：
%凸包监测
%思路是先找出边缘点（三角形只有1个或2个的），顺便整出一个三角形相互关系图，以后用。
%然后顺时针，依次隔一个点连接出一条线段，如果这个和之前的线段相交，则不算；如果不交，则记录出三角形
%更新完了以后，再监测一遍，直到没有新的为止。
t_w=0;
while t_w==0
[~,border_point,~]=makebordertri(trimat);
border_point=[border_point;border_point(1,:)];
temp_edgemat=[];
temp_trimat=[];
for j=1:size(border_point,1)-1
tempboderedge=[border_point(j,1),border_point(j+1,2)];
tempboderdot=border_point(j,2);
%寻找带tempboderdot的所有边
tempdotex=edgemat(logical(sum(edgemat==tempboderdot,2)),:);
%删除相邻边
tempdotex(ismember(tempdotex,[tempboderdot,tempboderedge(1)],'rows'),:)=[];
tempdotex(ismember(tempdotex,[tempboderedge(1),tempboderdot],'rows'),:)=[];
tempdotex(ismember(tempdotex,[tempboderdot,tempboderedge(2)],'rows'),:)=[];
tempdotex(ismember(tempdotex,[tempboderedge(2),tempboderdot],'rows'),:)=[];
%检测tempdotex是否为空，如果是证明不用相连
t_N=size(tempdotex,1);
t_t=0;
if t_N>0
%依次检测是否相交，只要有一个相交就不算；如果都不想交，则相连
for k=1:t_N
if tempdotex(k,1)==tempboderdot
t_xdotno4=tempdotex(k,2);
else
t_xdotno4=tempdotex(k,1);
end
tt_xdotno4=xdot(t_xdotno4,:)-xdot(tempboderdot,:);
xdotno4=xdot(tempboderdot,:)+tt_xdotno4/sqrt(sum(tt_xdotno4.^2))*(sqrt((xmax-xmin)^2+(ymax-ymin)^2));
panduan=crossornot(xdot(tempboderedge(1),:),xdot(tempboderedge(2),:),xdot(tempboderdot,:),xdotno4);
if panduan==1
t_t=t_t+1;
break
end
end
%t_t大于0说明有相交的线,略过
if t_t==0
temp_edgemat=[temp_edgemat;tempboderedge];
temp_trimat=[temp_trimat;[tempboderedge,tempboderdot]];
break
end
end
end
trimat=[trimat;temp_trimat];
edgemat=[edgemat;temp_edgemat];
%删除重复的三角形
trimat=sort(trimat,2);
trimat=unique(trimat,'stable','rows');
if j==size(border_point,1)-1
t_w=1;
end
end
2.3 泰森多边形算法
这里泰森多边形的每一个顶点都是Delaunay三角网格的外接圆圆心，所以这一步的算法就简单很多:
1.求出所有三角形的外接圆圆心
2:按照三角形之间的关系依次连接各个圆心
如果遇到边缘点，只需要过圆心做三角形边缘线段中垂线即可，最终到图形边界为止。当然也可以做足够大的三角网格，做泰森多边形之后取一部分即可。
上一步中得到的图形做泰森多边形得到图形如下：
3泰森多边形的最终程序
最终matlab实现程序如下图所示：
clear
N=100;
%点随机
xdot=rand(N,2);
%点按圆形随机
% r=rand(N,1).^0.3;
% theta=rand(N,1)*2*pi;
% xdot=[r.*cos(theta),r.*sin(theta)];
%点按双行随机
% x=rand(N,1);
% y=[randn(N/2,1)/5+0.5;randn(N/2,1)/5-0.5];
% y(y>1)=1;y(y<-1)=-1;
% y=(y+1)/2.1;
% xdot=[x,y];
%点按规则矩形加抖动
% [X1,X2]=meshgrid(0:1/sqrt(N):1-1/sqrt(N));
% xdot=zeros(N,2);
% xdot(:,1)=X1(1:end)'+1/sqrt(N)/2*rand(N,1);
% xdot(:,2)=X2(1:end)'+1/sqrt(N)/2*rand(N,1);
%点按随机三角加抖动
% NN=20;
% X1=[];X2=[];
% for j=1:NN
% if mod(j,2)==0
% X1=[X1;(0:1/NN/sqrt(3)*2:1-0/NN/sqrt(3)*2)'];
% X2=[X2;ones(length(0:1/NN/sqrt(3)*2:1-0/NN/sqrt(3)*2),1)*(j-1)/NN];
% else
% X1=[X1;(0:1/NN/sqrt(3)*2:1-1/NN/sqrt(3)*2)'+1/NN/sqrt(3)];
% X2=[X2;ones(length(0:1/NN/sqrt(3)*2:1-1/NN/sqrt(3)*2),1)*(j-1)/NN];
% end
% end
% N=size(X1,1);
% xdot=[X1+rand(N,1)*1.2/NN/sqrt(3),X2+rand(N,1)*1.2/NN/2];
%1Delaulay三角形的构建
%整理点，遵循从左到右，从上到下的顺序
xdot=sortrows(xdot,[1 2]);
%画出最大包含的三角形
xmin=min(xdot(:,1));xmax=max(xdot(:,1));
ymin=min(xdot(:,2));ymax=max(xdot(:,2));
bigtri=[(xmin+xmax)/2-(xmax-xmin)*1.5,ymin-(xmax-xmin)*0.5;...
(xmin+xmax)/2,ymax+(ymax-ymin)+(xmax-xmin)*0.5;...
(xmin+xmax)/2+(xmax-xmin)*1.5,ymin-(xmax-xmin)*0.5];
xdot=[bigtri;xdot];%点集
edgemat=[1 2 xdot(1,:) xdot(2,:);...
2 3 xdot(2,:) xdot(3,:);1 3 xdot(1,:) xdot(3,:)];%边集，每个点包含2个点，4个坐标值
trimat=[1 2 3];%三角集,每个三角包含3个点
temp_trimat=[1 2 3];
for j=4:N+3
pointtemp=xdot(j,:);%循环每一个点
deltemp=[];%初始化删除temp_trimat的点
temp_edgemat=[];%初始化临时边
for k=1:size(temp_trimat,1)%循环每一个temp_trimat的三角形
panduan=whereispoint(xdot(temp_trimat(k,1),:),...
xdot(temp_trimat(k,2),:),xdot(temp_trimat(k,3),:),pointtemp);%判断点在圆内0、圆外1、圆右侧2
switch panduan
case 0
%点在圆内
%则该三角形不为Delaunay三角形
temp_edge=maketempedge(temp_trimat(k,1),temp_trimat(k,2),temp_trimat(k,3),j,xdot);%把三条边暂时存放于临时边矩阵
temp_edgemat=[temp_edgemat;temp_edge];
deltemp=[deltemp,k];
;
case 1
%点在圆外，pass
;
case 2
%点在圆右
%则该三角形为Delaunay三角形，保存到triangles
trimat=[trimat;temp_trimat(k,:)];%添加到正式三角形中
deltemp=[deltemp,k];
%并在temp里去除掉
%别忘了把正式的边也添加进去
edgemat=[edgemat;makeedge(temp_trimat(k,1),temp_trimat(k,2),temp_trimat(k,3),xdot)];%遵循12,13,23的顺序
edgemat=unique(edgemat,'stable','rows');
end
%三角循环结束
end
%除去上述步骤中的临时三角形
temp_trimat(deltemp,:)=[];
temp_trimat(~all(temp_trimat,2),:)=[];
%对temp_edgemat去重复
temp_edgemat=unique(temp_edgemat,'stable','rows');
%将edge buffer中的边与当前的点进行组合成若干三角形并保存至temp triangles中
temp_trimat=[temp_trimat;maketemptri(temp_edgemat,xdot,j)];
k=k;
%点循环结束
end
%合并temptri
trimat=[trimat;temp_trimat];
edgemat=[edgemat;temp_edgemat];
%删除大三角形
deltemp=[];
for j=1:size(trimat,1)
if ismember(1,trimat(j,:))||ismember(2,trimat(j,:))||ismember(3,trimat(j,:))
deltemp=[deltemp,j];
end
end
trimat(deltemp,:)=[];
edgemat=[trimat(:,[1,2]);trimat(:,[2,3]);trimat(:,[3,1])];
edgemat=sort(edgemat,2);
edgemat=unique(edgemat,'stable','rows');
temp_edgemat=[];
temp_trimat=[];
figure(1)
hold on
% plot(xdot(:,1),xdot(:,2),'ko')
for j=1:size(trimat,1)
plot([xdot(trimat(j,1),1),xdot(trimat(j,2),1)],[xdot(trimat(j,1),2),xdot(trimat(j,2),2)],'k-')
plot([xdot(trimat(j,1),1),xdot(trimat(j,3),1)],[xdot(trimat(j,1),2),xdot(trimat(j,3),2)],'k-')
plot([xdot(trimat(j,3),1),xdot(trimat(j,2),1)],[xdot(trimat(j,3),2),xdot(trimat(j,2),2)],'k-')
end
hold off
xlim([0,1]);ylim([0,1]);
%凸包监测
%思路是先找出边缘点（三角形只有1个或2个的），顺便整出一个三角形相互关系图，以后用。
%然后顺时针，依次隔一个点连接出一条线段，如果这个和之前的线段相交，则不算；如果不交，则记录出三角形
%更新完了以后，再监测一遍，直到没有新的为止。
t_w=0;
while t_w==0
[~,border_point,~]=makebordertri(trimat);
border_point=[border_point;border_point(1,:)];
temp_edgemat=[];
temp_trimat=[];
for j=1:size(border_point,1)-1
tempboderedge=[border_point(j,1),border_point(j+1,2)];
tempboderdot=border_point(j,2);
%寻找带tempboderdot的所有边
tempdotex=edgemat(logical(sum(edgemat==tempboderdot,2)),:);
%删除相邻边
tempdotex(ismember(tempdotex,[tempboderdot,tempboderedge(1)],'rows'),:)=[];
tempdotex(ismember(tempdotex,[tempboderedge(1),tempboderdot],'rows'),:)=[];
tempdotex(ismember(tempdotex,[tempboderdot,tempboderedge(2)],'rows'),:)=[];
tempdotex(ismember(tempdotex,[tempboderedge(2),tempboderdot],'rows'),:)=[];
%检测tempdotex是否为空，如果是证明不用相连
t_N=size(tempdotex,1);
t_t=0;
if t_N>0
%依次检测是否相交，只要有一个相交就不算；如果都不想交，则相连
for k=1:t_N
if tempdotex(k,1)==tempboderdot
t_xdotno4=tempdotex(k,2);
else
t_xdotno4=tempdotex(k,1);
end
tt_xdotno4=xdot(t_xdotno4,:)-xdot(tempboderdot,:);
xdotno4=xdot(tempboderdot,:)+tt_xdotno4/sqrt(sum(tt_xdotno4.^2))*(sqrt((xmax-xmin)^2+(ymax-ymin)^2));
panduan=crossornot(xdot(tempboderedge(1),:),xdot(tempboderedge(2),:),xdot(tempboderdot,:),xdotno4);
if panduan==1
t_t=t_t+1;
break
end
end
%t_t大于0说明有相交的线,略过
if t_t==0
temp_edgemat=[temp_edgemat;tempboderedge];
temp_trimat=[temp_trimat;[tempboderedge,tempboderdot]];
break
end
end
end
trimat=[trimat;temp_trimat];
edgemat=[edgemat;temp_edgemat];
%删除重复的三角形
trimat=sort(trimat,2);
trimat=unique(trimat,'stable','rows');
if j==size(border_point,1)-1
t_w=1;
end
end
figure(2)
hold on
% plot(xdot(:,1),xdot(:,2),'ko')
for j=1:size(trimat,1)
plot([xdot(trimat(j,1),1),xdot(trimat(j,2),1)],[xdot(trimat(j,1),2),xdot(trimat(j,2),2)],'k-')
plot([xdot(trimat(j,1),1),xdot(trimat(j,3),1)],[xdot(trimat(j,1),2),xdot(trimat(j,3),2)],'k-')
plot([xdot(trimat(j,3),1),xdot(trimat(j,2),1)],[xdot(trimat(j,3),2),xdot(trimat(j,2),2)],'k-')
end
hold off
xlim([0,1]);ylim([0,1]);
%2泰森多边形的建立步骤
%求每个三角形的外接圆圆心
trimatcenter=zeros(size(trimat,1),2);
for j=1:size(trimat,1)
[a,b,~]=maketricenter(xdot(trimat(j,1),:),xdot(trimat(j,2),:),xdot(trimat(j,3),:));
trimatcenter(j,:)=[a,b];
end
%求三角形的相邻三角形个数
[border_trimat,border_point,trimat_con]=makebordertri(trimat);
Thi_edge1=[];
for j=1:size(trimat,1)
tempedge=[];
%第一个相邻三角形
if trimat_con(j,1)~=0
tempedge=[tempedge;[j,trimat_con(j,1)]];
end
%第二个相邻三角形
if trimat_con(j,2)~=0
tempedge=[tempedge;[j,trimat_con(j,2)]];
end
%第三个相邻三角形
if trimat_con(j,3)~=0
tempedge=[tempedge;[j,trimat_con(j,3)]];
end
Thi_edge1=[Thi_edge1;tempedge];
end
%绘制非边缘泰勒多边形
figure(3)
Thi_edge1=unique(Thi_edge1,'stable','rows');
xlim([0,1]);ylim([0,1]);
hold on
for j=1:size(Thi_edge1,1)
plot(trimatcenter([Thi_edge1(j,1),Thi_edge1(j,2)],1),trimatcenter([Thi_edge1(j,1),Thi_edge1(j,2)],2),'color',[0,0.4,0])
end
%绘制边缘泰勒多边形
%先逐个边试探，如果中心点在三角内，则做中心-边缘延长线
%如果中心点在三角外，如果在屏幕外，忽略，如果在屏幕内，做边缘-中心延长线
for j=1:size(border_point,1)
%先找到边对应的三角
temp_trimat=border_trimat(sum(border_trimat==border_point(j,1),2)+sum(border_trimat==border_point(j,2),2)==2,:);
%判断中心点是否在三角形内
[t_x1,t_y1,~]=maketricenter(xdot(temp_trimat(1),:),xdot(temp_trimat(2),:),xdot(temp_trimat(3),:));%求中心
panduan=pointintriangle(xdot(temp_trimat(1),:),xdot(temp_trimat(2),:),xdot(temp_trimat(3),:),[t_x1,t_y1]);
%求边的中点
t_x2=(xdot(border_point(j,1),1)+xdot(border_point(j,2),1))/2;
t_y2=(xdot(border_point(j,1),2)+xdot(border_point(j,2),2))/2;
if panduan==1
%做中心-边缘的延长线
%这里用到了边缘在01这个条件
t_xy3=[t_x1,t_y1]+[t_x2-t_x1,t_y2-t_y1]*sqrt(2)/sqrt((t_x2-t_x1)^2+(t_y2-t_y1)^2);
plot([t_x1,t_xy3(1)],[t_y1,t_xy3(2)],'color',[0,0.4,0])
elseif ~(t_x1<0||t_x1>1||t_y1<0||t_y1>1)
%判断点是否在边与边框的三角内，如果在，做中心的延长线
%如果不在，做中心-边缘的延长线
%或者改成判断点是否在多边形内
panduan2=pointinmutiangle(xdot,[border_point(1,1);border_point(:,2)],[t_x1,t_y1]);
if panduan2==1
t_xy3=[t_x1,t_y1]+[t_x2-t_x1,t_y2-t_y1]*sqrt(2)/sqrt((t_x2-t_x1)^2+(t_y2-t_y1)^2);
plot([t_x1,t_xy3(1)],[t_y1,t_xy3(2)],'color',[0,0.4,0])
else
t_xy3=[t_x1,t_y1]+[t_x1-t_x2,t_y1-t_y2]*1/sqrt((t_x2-t_x1)^2+(t_y2-t_y1)^2);
plot([t_x1,t_xy3(1)],[t_y1,t_xy3(2)],'color',[0,0.4,0])
end
end
end
scatter(xdot(:,1),xdot(:,2),5,[0,0.4,0],'filled')
hold off
%判断点在三角形外接圆的哪个部分
function panduan=whereispoint(xy1,xy2,xy3,xy0)
%判断点在三角形外接圆的哪个部分
[a,b,r2]=maketricenter(xy1,xy2,xy3);
x0=xy0(1);y0=xy0(2);
if a+sqrt(r2) 0 ||...
(((l2x1-l1x1)*(l1y2-l1y1)-(l2y1-l1y1)*(l1x2-l1x1))*...
((l2x2-l1x1)*(l1y2-l1y1)-(l2y2-l1y1)*(l1x2-l1x1))) > 0)
%如果判断为真，则不会相交
panduan=0;
else
panduan=1;
end
end
end
%两个向量做差积
function t=crossdot(xy1,xy2)
x1=xy1(1);y1=xy1(2);
x2=xy2(1);y2=xy2(2);
t=x1*y2-y1*x2;
end
%点是否在三角形内
function panduan=pointintriangle(xy1,xy2,xy3,xy0)
x1=xy1(1);y1=xy1(2);
x2=xy2(1);y2=xy2(2);
x3=xy3(1);y3=xy3(2);
x0=xy0(1);y0=xy0(2);
PA=[x1-x0,y1-y0];PB=[x2-x0,y2-y0];PC=[x3-x0,y3-y0];
%利用差积同正或同负号来判断是否在三角内
t1=crossdot(PA,PB);
t2=crossdot(PB,PC);
t3=crossdot(PC,PA);
if abs(sign(t1)+sign(t2)+sign(t3))==3
panduan=1;
else
panduan=0;
end
end
%点是否在多边形内
function panduan=pointinmutiangle(xdot,d_no,xy0)
%d_no符合12341的格式，收尾相连
Ndot=xdot(d_no,:);
PN=[Ndot(:,1)-xy0(1),Ndot(:,2)-xy0(2)];
tn=zeros(length(d_no)-1,1);
for j=1:length(d_no)-1
tn(j)=crossdot(PN(j,:),PN(j+1,:));
end
%利用差积同正或同负号来判断是否在三角内
if abs(sum(sign(tn)))==length(d_no)-1
panduan=1;
else
panduan=0;
end
end
最终得到的图形如下：
Delaunay三角网格
Voronoi图
