数字图像处理相关题目解析(直方图均衡化、中值滤波、邻域平均、霍夫曼编码)

1.什么是图像？模拟图像与数字图像有什么区别？
答：（1）图像是对客观对象的一种相似性的.生动性的描述或写真。或者说图像是客观对象的一种表示,它包含 了被描述对象的有关信息。它是人们最主要的信息源。
（2）按图像空间坐标和亮度(或色彩)的连续性可分为模拟图像和数字图像。模拟图像指空间坐标和亮度(或色彩)都是连续变化的图像。模拟图像可用连续函数来描述。数字图像是一种空间坐标和灰度均不连续的用离散数字(一般用整数)表示的图像。数字图像可用矩阵或数组来描述。

2.模拟图像处理与数字图像处理的主要区别表现在哪些地方？
答：利用光学、照像方法对模拟图像的处理称为模拟图像处理。所谓数字图像处理，就是利用计算机对数字图像进行系列操作，从而获得某种预期的结果的技术。数字图像处理离不开计算机，因此又称计算机图像处理。
主要区别表现：
① 数学描述方法：模拟图像主要用连续数学方法，数字图像主要用离散数学方法。
② 图像分辨率表示：数字图像分辨率是指反映整个图像画面垂直和水平方向像素数乘积。模拟图像分辨率是指反映整个画面最多的扫描线数。
③ 图像处理：数字图像是通过对模拟图像采样，量化等处理获得的，模拟图像处理的方式很少，往往只能进行简单的放大、缩小等，而数字图像的处理方式可以非常精确、灵活。数字图像处理再现性好，模拟图像的保存性较差，时间长了会有所变化，而数字图像不会因为保存、传输或复制而产生图像质量上的变化。但数字图像处理速度较慢，存储容量大。
④ 图像传输：模拟图像以实物为载体，传输相对困难，而数字图像以数字信息为载体，传输相对较快。

解：$v_0=\frac{5}{64}$   $v_1=\frac{12}{64}$   $v_2=\frac{16}{64}$  $v_3=\frac{8}{64}$ $v_4=\frac{1}{64}$ $v_5=\frac{7}{64}$ $v_6=\frac{10}{64}$ $v_7=\frac{5}{64}$
图像信息熵H（熵）：$H=-{\sum }_{i=0}^{n-1}{P}_{i}lo{g}_2{P}_i=-（\frac{5}{64}\times lo{g}_2\frac{5}{64}+\frac{12}{64}\times lo{g}_2\frac{12}{64}+\frac{16}{64}\times lo{g}_2\frac{16}{64}+\frac{8}{64}\times lo{g}_2\frac{8}{64}+\frac{1}{64}\times lo{g}_2\frac{1}{64}+\frac{7}{64}\times lo{g}_2\frac{7}{64}+\frac{10}{64}\times lo{g}_2\frac{10}{64}+\frac{5}{64}\times lo{g}_2\frac{5}{64})=2.76$

14.什么是小波？小波函数是惟一的吗？
答： “小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性;而称之为“波”则是指它的波动性,其振幅呈正负相间的震荡形式。
小波函数的选择既不是惟一的,也不是任意的。

15.一个小波函数应满足哪些容许性条件？
答：(1)定义域应是紧支撑的，即在一个很小的区间外,函数为零,也就是函数应有速降特性。
（2）平均值为零，即
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }\phi (t)dt=0$$
，其高阶矩阵也为零。
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{t}^k\phi (t)dt=0，其中k=0,1,2,\dots ,N-1$$
该条件也叫小波的容许条件。

分析：
①计算$S_k$_计:
$S_k$_计$={\sum }_{j=0}^{j}P$_r(r_j)
例如：$S_1$_计$={\sum }_{j=0}^{1}P$_r(r_j)$=0.195+0.160=0.355$
②计算$S_k$_并：采用4舍5入的方法对$S_k$_计加以修饰。
例如：当$S_k$_计等于0.195时，四舍五入最接近$\frac{3}{15}$,故$S_k$_并$=\frac{3}{15}$。
③输出图像的灰度级$S_k$，即10个级别。
④计算对应每个$S_k$的$n_s$_k
例如：当$S_k$等于1时，$n_s$_k$=96+80+70+50+30=326$
⑤计算$P_s$_k$(S_k)=$$\frac{n_{s}k}{n}$，在这里有一个简单的计算，以计算$S_k$等于1时为例：$P_s$_k$(S_k)=0.023+0.019+0.017+0.012+0.07=0.078$，即对所有$S_k$_并$=1$的$P_r(r_k)$求和。
解：



分析：本题是8×8的矩阵做3×3的中值滤波处理，首先边缘部分保持不变，用中值代替窗口中心像素的原来灰度值。
具体步骤：

对红色线框里面数字进行排序1 1 1 1 1 1 1 5 7，中值为1，即用中值数1替换红色线框中心的数字1。

对于此红色线框中3×3矩阵，进行相同的步骤，先排序1 1 1 1 5 5 5 7 8，选取中值数为5，即用5替换红色线框中心的数字1。
以此类推。

解：中值滤波处理最终结果如下

11.对上图作3×3的邻域平均，并比较邻域平均与中值滤波的差异。
分析：解题过程同上。
解：邻域平均处理结果如下

中值滤波与领域平均的差异：①领域平均算法简单，但它的主要缺点是在降低噪声的同时使图像产生模糊，特别在边缘和细节处。而且邻域越大，在去噪能力增强的同时模糊程度越严重。②中值滤波是对一个滑动窗口内的诸像素灰度值排序，用中值代替窗口中心像素的原来灰度值，因此它是一种非线性的图像平滑法。它对脉冲干扰及椒盐噪声的抑制效果好，在抑制随机噪声的同时能有效保护边缘少受模糊。但它对点、线等细节较多的图像却不太合适。

分析：
①编码的时候从右往左开始编码，相对好理解一些。下一个编码一部分都是在上一个编码的基础上产生出来的。
②用二叉树进行霍夫曼编码算法步骤如下：
 Step1.统计每个元素出现的频率（该题已经给出）；
 Step2.将频率从左到右按照从大到小的顺序排列；
 Step3.选出频率最小的两个值,作为二叉树的两个叶子节点,将其和作为它们的根节点,两个叶子节点不再参与排序,新的根节点同其余元素出现的频率排序。
 Step4.重复Step3,直到最后得到和为1的根节点。
 Step5.将形成的二叉树的子节点左边标0,右边标1。把最上面的根节点到最下面的叶子节点途中遇到的0,1序列串起来,就得到了各个元素的编码。
解：

信源的熵：$H=-{\sum }_{i=1}^8{P}_{i}lo{g}_2{P}_i=-[0.20\times lo{g}_2(0.20)+0.09\times lo{g}_2(0.09)+0.11\times lo{g}_2(0.11)+0.13\times lo{g}_2(0.13)+0.07\times lo{g}_2(0.07)+0.12\times lo{g}_2(0.12)+0.08\times lo{g}_2(0.08)+0.20\times lo{g}_2(0.20)]=2.9$
平均码长：$\overline{B}={\sum }_{i=1}^{8}P(w_i){\beta }_i=0.2\times 2+0.09\times 4+0.11\times 4+0.13\times 3+0.07\times 4+0.12\times 3+0.08\times 4+0.2\times 2=2.95$
编码效率：$r=\frac{H}{\overline{B}}-1=\frac{2.95}{2.9}-1=1.72\%$
冗余度：$\eta =\frac{\overline{B}}{H}=\frac{1}{r+1}=98.3\%$