傅里叶变换及其应用笔记(part 2)

线性系统

• 冲击响应和传递函数
• 线性不变系统的特征方程

定义，线性系统，将输入与输出映射起来，满足叠加性原则(superposition)

$$L(v_1)+L(v_2)=L(v_1+v_2)$$
$$L(\alpha v)=\alpha L(v)$$
也就有
$$L\left(\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{v}_i\right)=\sum _{i=1}^n{\alpha }_{i}L(v_i)$$
可以推广到无限和，但需要一些另外的假设。假设满足一定的连续性（这里不讨论具体的含义）

Example（线性系统的例子）
-正比关系 $L(v)=\alpha v$
可以说，所有的线性系统，最终都回归到对正比的操作上
正比也被称作倍增，任何倍增给出的线性系统是一个线性系统$$L(v(t))=\alpha (t)v(t)$$

-比如开关switch
$$L(v(t))={\Pi }_a(t)v(t)$$
-采样也是一种线性系统
$$L(v(t))={Ш}_p(t)v(t)$$

更一般化正比，两个线性运算再加上相加
$$(Av{)}_i=\sum _{j=0}^M{a}_{ij}{v}_j$$
具有特殊性质的线性系统（他们的特殊性质来自于A的特殊性质）
Example
-$A$对称$A^T=A$
-$A$Hermitian$A^H=A$
-$A$酉或正交
时常寻找A的特征值和特征向量
如果有n个特征向量和特征值，他们构成了输入的基$(\{{\lambda }_i\}\{v_i\})$
$$Av=\sum _{i=1}^{n}A({\alpha }_i{v}_i)=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{\lambda }_i{v}_i$$
有限维度线性系统的唯一例子：矩阵乘法
Ex
输入，所有次数小于$n$的多项式
$$a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n$$
让$L=d/dx$（微分）
$L$能表达成$n\times n$矩阵
（有限维线性原酸都能表达成矩阵乘法）
对于武县委连续的情况，对矩阵进行概括的线性系统就是对核函数进行积分的操作
输入$v(0)$，核$k$，为$k(x,y)$
$$L_v(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }k(x,y)v(y)dy$$
对核函数$k(x,y)$类比对称情况为
$$k(x,y)=k(y,x)$$
Hermitian性为
$$k(x,y)=\overline{k(y,x)}$$
Example
①$$\mathcal{F}f(s)={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi ist}f(t)dt$$
$$k(s,t)=e^{-2\pi ist}(对称的)$$
②卷积，固定$h$
$$Lv=h\ast v$$
$$Lv(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }h(x-y)v(y)dy$$
$$k(x,y)=h(x-y)$$
它不单独依赖于$x,y$而是依赖于他们的差。这个性质导致了时间不变性，如果同时移动$x$和$y$同样的偏移量$a$，卷积不变
这称为卷积时移不变性
对核函数积分不仅是线性系统的一个例子，而是连续线性系统的唯一例子

现在我们将从一般的线性系统中构造出核$k$

特殊情况，讨论级联或者复合
$$v⟶\boxed{L}⟶\boxed{M}⟶w$$
也是线性的
当$L$是由核得到的
$$L_v(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }k(x,y)v(y)dy$$
$M{L}_v(x)$是什么
$$M{L}_v(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }{M}_{x}k(x,y)v(y)dy$$
$M$对$k$作用（关于$x$）
不严格的说明（严格余姚积分，极限等假设）
$${\int }_{-\infty }^{\infty }k(x,y)v(y)dy\approx \sum _{i}k(x,y_i)v(y_i)\Delta y_i$$
$$\begin{array}{rl}M\left(\sum _{i}k(x,y_i)v(y_i)\Delta y_i\right)& =\sum _{i}M(k(x,y_i)v(y_i)\Delta y_i)\\ & =\sum _{i}M(k(x,y_i))v(y_i)\Delta y_i\\ & \approx {\int }_{-\infty }^{\infty }{M}_{x}k(x,y)v(y)dy\end{array}$$

任意线性系统都是对核的积分
$v(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (x-y)v(y)dy$可以写成这样。L是一个线性系统
$$\begin{gathered} L_v(x)=L\left({\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (x-y)v(y)dy\right) \\ ={\int }_{-\infty }^{\infty }{L}_x(\delta (x-y))v(y)dy \end{gathered}$$
$$k(x,y)=L_x(\delta (x-y))$$
我们可以把核$k(x,y)$称作脉冲响应，系统$L$对脉冲输入做出响应

Schwartz核理论（Schwartz核定理）
L是一个线性广义函数，将一个分布映射成另一个分布，那么存在唯一的核k
$$Lv=<k,v>$$

Example
傅里叶变换的脉冲响应是什么
$${\mathcal{F}}_x\left(\delta (x-y)\right)=e^{-2\pi ixy}$$
$$\mathcal{F}f(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi ixy}f(y)dy$$
$$k(x,y)=e^{-2\pi ixy}$$

有限维的情况
$$L(v)=Av$$
脉冲响应为$A$(求和代替积分，离散$\delta$代替$\delta$)
一样的证明
$$v=\sum _{i=0}^{n}v{\delta }_i$$
$$Av=\sum _{i=0}^{n}A{\delta }_{i}v=\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^n{a}_{ij}{\delta }_{j}v$$
故
$$h(i,j)=a_{ij}{\delta }_j=a_{ij}$$
即
$$h=A$$

Example
一个有关开关的例子
switch
$$Lv=\Pi v$$
响应函数是什么(y看成固定的）
$$L(\delta (x-y))=\Pi (x)\delta (x-y)=\Pi (y)\delta (x-y)$$
即
$$h(x,y)=\Pi (y)\delta (x-y)$$
检查一下
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\Pi (y)\delta (x-y)v(y)dy=\Pi (x)v(x)$$

有关卷积的特殊情况
$$Lv=h\ast v={\int }_{-\infty }^{\infty }h(x-y)v(y)dy$$
$L(\delta (x-y))h(x-y)$一定是脉冲响应（从Schwartz核的唯一性）

卷积与时延的关系也是非常值得研究的
时延与卷积有着非常简单的关系
定义时延算子$\tau$
$${\tau }_{a}v(x)=v(x-a)$$
由定义知道，卷积的时延等于时延的卷积
$${\tau }_a(h\ast v)=h\ast ({\tau }_{a}v)$$
假设一个线性系统$Lv=h\ast v$
那么

写成$L({\tau }_{a}v)={\tau }_{a}L(v)$
我们称为时延不变系统（先时移再变换和变变换再平移一样的结果）
奇妙的是，如果系统是时移不变的，那么它一定是由卷积得到的
证：
如果$Lv={\int }_{-\infty }^{\infty }{L}_x(\delta (x-y))v(y)dy$是时移不变的，$L_x(\delta (x-y))=?$
让$L\delta (x)=h(x)$(这是有意义的，相当于$k(x,0)$
则
$$L(\delta (x-y))=L({\tau }_y\delta (x))={\tau }_{y}L(\delta (x))={\tau }_{y}h(x)=h(x-y)$$
故
$$Lv=h\ast v$$
回到开关的例子
$$Lv=\Pi v$$
$$h(x,y)=\Pi (y)\delta (x-y)$$
不仅是$x-y$的函数，所以不是时延不变系统

线性不变系统

$$Lv(x)=w(x)$$
$$w(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }h(x,y)v(y)dy$$
时移不变
$${\int }_{-\infty }^{\infty }h(x-y)v(y)dy=h\ast v$$
$$h=L\delta ,h[-m]=L{\delta }_m$$
例
$h=(1,2,3,4)$无限循环，$w=Av=h\ast v$，$A$有限。$A$是什么？
$$a_k=A{\delta }_k$$
$$a_0=h\ast {\delta }_0=h,a_1=h\ast {\delta }_1=\left[\begin{array}{c}4\\ 1\\ 2\\ 3\end{array}\right]$$
$$a_2=h\ast {\delta }_1=\left[\begin{array}{c}3\\ 4\\ 1\\ 2\end{array}\right],a_4=h\ast {\delta }_1=\left[\begin{array}{c}2\\ 3\\ 4\\ 1\end{array}\right]$$
故
$$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 4& 3& 2\\ 2& 1& 4& 3\\ 3& 2& 1& 4\\ 3& 3& 2& 1\end{array}\right]$$
循环矩阵，托普利兹矩阵（Toeplitz matrix）的特例叫
对于LTI系统（线性时移不变系统），如果$w=h\ast v$，做傅里叶变换
$$W(s)=H(s)V(s)$$
$H$叫传递函数。
在频域中，这个系统由比例给出

LTI系统最后一个伟大的事实是：复指数特征函数

$$w=Lv=h\ast v$$
傅里叶变换
$$W(s)=H(s)V(s)$$
如果$v(x)=e^{2\pi i\nu t}$($\nu$是频率)，那么$Lv(x)$是什么
$$\mathcal{F}{e}^{2\pi i\nu t}=\delta (x-\nu )$$
故
$$W(s)=H(s)\delta (s-\nu )=H(\nu )\delta (s-\nu )$$
回到时域，逆变换
$$w(x)=H(\nu )e^{2\pi i\nu t}$$
也就是说
$$L(e^{2\pi i\nu x})=H(\nu )e^{2\pi i\nu x}$$
即$e^{2\pi i\nu x}$是$L$W的特征函数，特征值为$H(\nu )$
意思就是，$e^{2\pi i\nu x}$是任意LIT系统的特征函数，对应特征值为$H(\nu )$(实际上是一组基，可以用来对角化)

复指数是特征函数，而单独的$\sin ,\cos$不是
令$v(x)=\cos 2\pi \nu x$
$$\begin{array}{rl}L(\cos 2\pi \nu x)& =L(\frac{1}{2}{e}^{2\pi i\nu x}+\frac{1}{2}{e}^{-2\pi i\nu x})\\ & =\frac{1}{2}L(e^{2\pi i\nu x})+\frac{1}{2}L(e^{-2\pi i\nu x})\\ & =\frac{1}{2}H(\nu )e^{2\pi i\nu x}+\frac{1}{2}H(-\nu )e^{-2\pi i\nu x}\end{array}$$
如果没有进一步假设，那么就不能合并，它不是一个特征函数

假设$h$是实函数，那么$H(-\nu )=\overline{H(\nu )}$
($\overline{H(\nu )}=\overline{{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi i\nu t}h(t)dt}={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{2\pi i\nu t}h(t)dt={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi i(-\nu )t}h(t)dt=H(-\nu )$
故
$$L(\cos (2\pi \nu x))=\frac{1}{2}H(\nu )e^{2\pi i\nu x}+\frac{1}{2}\overline{H(\nu )e^{2\pi i\nu x}}=Re\left(H(\nu )e^{2\pi i\nu x}\right)$$
记$H(\nu )=|H(\nu )|e^{i\varphi }$，上式等于
$$\begin{gathered} Re\left(|H(\nu )|e^{2\pi i\nu x}{e}^{i\varphi }\right)=Re\left(|H(\nu )|e^{i(2\pi \nu x+\varphi )}\right) \\ =|H(\nu )|\cos (2\pi \nu x+\varphi ) \end{gathered}$$
我们得到
$$L(\cos (2\pi \nu x))=|H(\nu )|\cos (2\pi \nu x+\varphi )$$

对于离散的情况也是一样
$$w=Lv=h\ast v$$
$$w[m]=H[m]V[m]$$
令$v={\omega }^k$
$$\mathcal{F}{\omega }^k=N{\delta }_k$$
$$W=HN{\delta }_k=H[k]N{\delta }_k$$
逆变换得
$$L({\omega }^k)=H[k]{\omega }^k$$
(故${\omega }^k$组成了特征向量组，也是一组基)

考虑之前的矩阵
$$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 4& 3& 2\\ 2& 1& 4& 3\\ 3& 2& 1& 4\\ 3& 3& 2& 1\end{array}\right]$$
特征值由传递函数给出
$$\begin{array}{rl}\mathcal{F}h& =\sum _{k=0}^{3}h[k]{\omega }^{-k}\\ & =\sum _{k=0}^3(k+1){\omega }^{-k}=\left[\begin{array}{c}10\\ -2+2i\\ 2\\ -2-2i\end{array}\right]\end{array}$$

高维傅里叶变换

也就是多变量函数的傅里叶变换
高维傅里叶变换有许多的应用，如图像福利也分析，谱分析，图像信号处理

组成分量是高维复指数，为了使高维傅里叶变换和一维情形差不多，只需要使用向量记号
一维情形
$$\mathcal{F}f(s)={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi ist}f(t)dt$$
二维,记$x=(x_1,x_2),\xi =({\xi }_1,{\xi }_2)$
$$\mathcal{F}f={\int }_{{\mathbb{R}}^2}{e}^{-2\pi ix\cdot \xi }f(x)dx={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi i(x_1{\xi }_1+x_2{\xi }_2)}f(x_1,x_2)d{x}_{1}d{x}_2$$
高维也一样
$$\mathcal{F}f={\int }_{{\mathbb{R}}^n}{e}^{-2\pi i(x\cdot \xi )}f(x)dx$$
如果$X=(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$为空间域变量，那么每个$x_i$都有维度长度，频率域变量${\xi }_i$该有什么样的长度
为了使$x\cdot \xi$有物理意义（$x\cdot \xi =x_1{\xi }_1+\cdots +x_n{\xi }_n$）,我们让$\xi$有$1/len$的长度单位，这样$x_i{\xi }_i$才会得到一个数（即量纲抵消，时间s对应频率1/s）

为什么用内积代替原来的乘积？
$$\mathcal{F}f={\int }_{{\mathbb{R}}^n}{e}^{-2\pi i(x\cdot \xi )}f(x)dx$$
讨论$e^{\pm 2\pi i(x\cdot \xi )}$的自然引入，从几何上理解
一维情况
    $e^{-2\pi ist}$固定$s$看成$t$的函数，它的周期为$1/s$，频率为$s$
二维情况
    固定$\xi =({\xi }_1,{\xi }_2)$,$e^{-2\pi i(x_1{\xi }_1+x_2{\xi }_2)}$什么时候为1？当$x_1{\xi }_1+x_2{\xi }_2\in \mathbb{Z}$
  这时，$x_1$和$x_2$是怎样的
$$x_1{\xi }_1+x_2{\xi }_2=0$$
  是一条直线（通过远点），以$\xi =({\xi }_1,{\xi }_2)$作为发现了
$$x_1{\xi }_1+x_2{\xi }_2=k$$
  是一条距远点为$\frac{|k|}{\Vert \xi \Vert }$的直线，这些直线相互平行，两条相邻直线的距离为$\frac{x\cdot \xi }{\Vert \xi \Vert }=\frac{1}{\Vert \xi \Vert }$
  可以说$e^{-2\pi i(x\cdot \xi )}$是以$\xi$为方向，以周期为$\frac{1}{\Vert \xi \Vert }$的函数
高频意味着$\Vert \xi \Vert$很大$\frac{1}{\Vert \xi \Vert }$很小

Example
有一类函数，可以用低维变换（特别是一维变换）来计算高维变换，这类函数就是可分离函数
2D情形
$$\Pi (x_1,x_2)=\{\begin{array}{l}1,|x_1|,|x_2|<\frac{1}{2}\\ 0,otherwise\end{array}$$
它可以写成两个一维函数的乘积
$$\Pi (x_1,x_2)=\Pi (x_1)\Pi (x_2)$$
做傅里叶变换
$$\begin{gathered} \mathcal{F}f({\xi }_2,{\xi }_2)={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi i(x_1{\xi }_1+x_2{\xi }_2)}\Pi (x_1,x_2)d{x}_{2}d{x}_2 \\ ={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi i{x}_1{\xi }_1}\Pi (x_1)d{x}_1+{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi i{x}_2{\xi }_2}\Pi (x_2)d{x}_2 \\ =\mathcal{F}{f}_1\mathcal{F}{f}_2=sinc({\xi }_1)sinc({\xi }_2) \end{gathered}$$
大部分函数是可分离的，但不总可以

例子2:2D Gaussian
$$g(x_1,x_2)=e^{-\pi (x_1^2+x_2^2)}$$
这是可分离的$$\mathcal{F}g({\xi }_1,{\xi }_2)=e^{-\pi ({\xi }_1^2+{\xi }_2^2)}$$
高斯函数有一个重要的性质，是另一类重要函数的诠释。当研究傅里叶变换的时候，称高斯函数是径向的
高斯函数是径向函数之一，引入极坐标
$$r=\sqrt{x_1^2+x_2^2}，\theta =ta{n}^{-1}\left(\frac{x_2}{x_1}\right)$$
则
$$x_1=r\cos \theta ,x_2=r\sin \theta$$
$$e^{-\pi (x_1^2+x_2^2)}=e^{-\pi r^2}$$
只和$r$有关，和$\theta$无关，说$x_1$和$x_2$是独立的。
径向行数通常依赖于到远点的距离，它的傅里叶变换也是径向函数
可以把一般的径向函数傅里叶变换转换成径向函数的形式，称为汉高(hankel)变换
离散傅里叶变换是在笛卡尔坐标系下进行的，对于更合适在极坐标下表示的函数将不能进行（这是个问题，值得研究）

$$\mathcal{F}f({\xi }_1,{\xi }_2)={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi i(x_1{\xi }_1+x_2{\xi }_2)}f(x_1,x_2)d{x}_{1}d{x}_2$$
令$$\{\begin{array}{l}{x}_1=r\cos \theta \\ x_2=r\sin \theta \end{array}\{\begin{array}{l}{\xi }_1=\rho \cos \phi \\ {\xi }_2=\rho \sin \phi \end{array}$$
把$f(x_1,x_2)$替换成$f(r)$(径向函数)
$$d{x}_{1}d{x}_2=rdrd\theta$$
$$x_1{\xi }_1+x_2{\xi }_2=r\cos \theta \rho \cos \phi +r\sin \theta \rho \sin \phi =r\rho \cos (\theta -\phi )$$
傅里叶变换就变成
$$={\int }_0^{\infty }{\int }_0^{2\pi }{e}^{-2\pi ir\rho \cos (\theta -\phi )}f(r)rd\theta dr$$
由于${\int }_0^{2\pi }{e}^{-2\pi ir\rho \cos (\theta -\phi )}d\theta$和$\theta$的值无关
所以上式为
$${\int }_0^{\infty }{\int }_0^{2\pi }{e}^{-2\pi ir\rho \cos \theta }f(r)rd\theta dr$$
但是，这个 不是初等积分，没有现成的公式（没有封闭形式closed-form）
定义
$$J_0(a)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{e}^{-ia\cos \theta }d\theta$$
（a是实数）这被叫做第一类0阶贝塞尔函数，上面的积分就可以写成
$$F(\rho )={\int }_0^{\infty }f(r)J_0(2\pi r\rho )rdr$$
这个式子有个名字，叫0阶汉高变换
高维卷积核一维一致
$$(f\ast g)(x)={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(y)g(x-y)dy$$
关于卷积的性质依然成立

高维傅里叶变换位移和缩放性质

位移定理
一维情况
$$f(t)⟷F(s)$$
$$f(t-b)⟷e^{-2\pi isb}F(s)$$
2D情形
$$f(x_1,x_2)⟷F({\xi }_1,{\xi }_2)$$
$$f(x_1-b_1,x_2-b_1)⟷e^{-2\pi i(b_1{\xi }_1+b_2{\xi }_2)}F({\xi }_1,{\xi }_2)=e^{-2\pi i(b\cdot \xi )}F({\xi }_1,{\xi }_2)$$
高维情况也一样

尺度缩放原理
1D情形
$$f(t)⟷F(s)$$
$$f(at)⟷\frac{1}{|a|}F\left(\frac{s}{a}\right)$$
2D情形
$$f(x_1,x_2)⟷F({\xi }_1,{\xi }_2)$$
$$f(a_1{x}_1,a_2{x}_2)⟷\frac{1}{|a_1|}\frac{1}{|a_2|}F\left(\frac{{\xi }_1}{a_1},\frac{{\xi }_2}{a_1}\right)=\frac{1}{|a_1{a}_2|}F\left(\frac{{\xi }_1}{a_1},\frac{{\xi }_2}{a_1}\right)$$
和一维的相似。如果通过一个矩阵进行变换，缩放通过矩阵乘法来做，而不是独立缩放，结果会是怎样
$$f(a{x}_1+b{x}_2,c{x}_1+d{x}_2)⟷???$$
即$x$变成$Ax$,$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$,要求$A$非奇异，即$|A|̸=0$
$$f(Ax)⟷???$$
进行变量替换$u=Ax$，那么$x=A^{-1}u$
$$\begin{array}{rl}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{e}^{-2\pi ix\cdot \xi }f(Ax)dx& =\frac{1}{|det(A)|}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{e}^{-2\pi i(A^{-1}u)\cdot \xi }f(u)du\\ & =\frac{1}{|det(A)|}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{e}^{-2\pi iu\cdot (A^{-T}\xi )}f(u)du\\ & =\frac{1}{|det(A)|}F(A^{-T}\xi )\end{array}$$

即
$$f(Ax)⟷\frac{1}{|det(A)|}F(A^{-T}\xi )$$

2D旋转
$$A=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right],|A|=1,A^{-T}=A$$
$$f(Ax)⟷f(A\xi )$$
空间域的旋转对应于频率域的旋转。伴随着个定理有一个新理论（缩放定理）。在高维情况，互反关系在一定程度上应理解为$A^{-T}$(逆的转置)。后面涉及物理上的这种互反关系

最后是关于$\delta$函数的缩放，和一维一样
$$<\delta ,\phi >=\phi (0)$$
$${\delta }_b=\delta (x-b)$$
$$<{\delta }_b,\phi >=\phi (b)=\phi (b_1,b_2,c\dots ,b_n)$$
$$\mathcal{F}\delta =1$$
$$\mathcal{F}{\delta }_b=e^{-2\pi i(b\cdot \xi )}$$
如果$f$乘以$\delta$(采样性质)
$$f\delta =f(0)\delta$$
$$f{\delta }_b=f(b){\delta }_b$$
一维缩放性质
$$\delta (ax)=\frac{1}{|a|}\delta (x)$$
高维情形
$$\delta (Ax)=\frac{1}{|\det (A)|}\delta (x)$$

高维$Ш$函数，晶格和晶体学

互反指的是$A^{-T}$（物理学中）
在一维情况$$Ш=\sum _{i=-\infty }^{\infty }{\delta }_i,\mathcal{F}Ш=Ш$$
$${Ш}_p=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (x-kp),\mathcal{F}{Ш}_p=\frac{1}{p}{Ш}_{\frac{1}{p}}$$
推广到二维
$${Ш}_{{\mathbb{Z}}^2}=\sum _{k\in {\mathbb{Z}}^2}\delta (x-k),\mathcal{F}{Ш}_{{\mathbb{Z}}^2}={Ш}_{{\mathbb{Z}}^2}$$
缩放，指的是乘以一个矩阵$A$，即$x⟶Ax$，$v_1=A{e}_1,v_2=A{e}_2$

晶格(lattice)的面积，一般指基本单元(晶元cell），即上面平行四边形的面积
考虑(L是上面平行四边形的点)
$${Ш}_L(x)=\sum _{p\in L}\delta (x-p)$$
它的傅里叶变换是什么
$A$作用于${\mathbb{Z}}^2$得到${\mathbb{Z}}^2$
$$L=A({\mathbb{Z}}^2)$$
$$L^{\ast }=A^{-T}({\mathbb{Z}}^2)$$
$L^{\ast }$中平行四边形的面积等于$L$中平行四边形的面积的倒数
$$\mathcal{F}{Ш}_L=\frac{1}{Area(L)}{Ш}_{L^{\ast }}$$
对于晶体，在一维情况下是测量它的电子云密度，二维也一样
$\rho (x)$表示单个原子的电子云密度
$${\rho }_L(x)=\rho (x)\ast {Ш}_L=\sum _{p\in L}\rho (x-p)$$
$$\begin{array}{rl}\mathcal{F}{\rho }_L& =(\mathcal{F}\rho )(\mathcal{F}{Ш}_L)\\ & =\mathcal{F}\rho \frac{1}{Area(L)}{Ш}_{L\ast }\\ & =\sum _{p^{\ast }\in L^{\ast }}\mathcal{F}\rho (p^{\ast })\delta (s-p^{\ast })\end{array}$$

二维傅里叶变换在医学图像中的应用

傅里叶变换再医学图像中的应用，特别是解决X射线断层照相问题（tomography）(CAR扫描，不是MRI核磁共振，这是两种成像技术)

建立过程
我们有一个2D区域，这里面有粘性物质包括血液骨头，器官等等，用函数$\mu (x_1,x_2)描述$粘性物质(goop)的密度。要利用X射线，恢复出$\mu$
方法是用X射线沿直线$L$透射这一区域，入射的$X$射线强度，经过衰减，测量另一端的强度
$$I_0⟶I$$
指数衰减
$$I=I_0{e}^{-{\int }_L\mu dx（粘性物质的质量）}$$
经过多次测量(X射线衍许多不同的线方向透射），就可以得到$\mu$沿不同直线的积分
能够恢复出$\mu$（在知道$\mu$沿不同方向积分的情况下）？答案是能，但是要用到二维傅里叶变换
将积分定义为$\mu$的变换
$$L⟶{\int }_L\mu dx$$
记为
$$\mathcal{R}(\mu )(L)={\int }_L\mu$$
称为$\mu$的拉东变换。存在拉东变换求出$\mu$，下面揭晓

拉东(Radon)变换及其反变换

2D区域的点密度为$\mu (x_1,x_2)$，X射线透射，测量沿各直线的积分值，利用这些测量值来得到$\mu$。
可看做一个变换，当$\mu$固定（看成$L$的变换）
$$L⟶{\int }_L\mu$$
$$\mathcal{R}(\mu )(L)={\int }_L\mu$$
已知所有的值${\mathcal{R}}_{\mu }(L)$ 能够计算出$\mu$么
用坐标表示所有直线，直线
$$y=mx+b$$
表成
$$(m,b)$$
因为没有包含垂线，故不合适这样表示，对我们的问题，直线结构式平行直线束。一条不经原点的直线可以表示为$(\rho ,\phi )$离原点距离和发向量角度
与法向量同向时，$\rho >0$,反向$\rho <0$（$-\infty <\rho <\infty$）。当$\rho ,\phi$给定时，直线的笛卡尔坐标是什么？
$$x\cdot n=\rho ,(n=(\cos \phi ,\sin \phi ))$$

考虑到$\delta$函数沿这样的直线
$$\rho -x_1\cos \phi -x_2\sin \phi =0$$
$$\delta (\rho -x_1\cos \phi -x_2\sin \phi )$$
像一维$\delta$一样，$\delta$沿这条直线为$\infty$，其他位置为$0$，并且积分为1

$${\int }_L\mu ={\iint }_{{\mathbb{R}}^2}\mu (x_1,x_2)\delta (\rho -x_1\cos \phi -x_2\sin \phi )d{x}_{1}d{x}_2$$
假定$\phi$定值,$\rho$变化（平行线），${\mathcal{R}}_{\mu }(\rho ,\phi )$看成$\rho$的函数，对这个函数做一维傅里叶变换（关于$\rho$）

$${\mathcal{F}}_{\rho }({\mathcal{R}}_{\mu }(\rho ,\phi ))(r)={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi ir\rho }\left({\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu (x_1,x_2)\delta (\rho -x_1\cos \phi -x_2\sin \phi )d{x}_{1}d{x}_2\right)d\rho$$
交换顺序
$$={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu (x_1,x_2)\left({\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi ir\rho }\delta (\rho -x_1\cos \phi -x_2\sin \phi )d\rho \right)d{x}_{1}d{x}_2$$
其中$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2\pi ir\rho }\delta (\rho -x_1\cos \phi -x_2\sin \phi )d\rho =e^{-2\pi ir(x_1\cos \phi +x_2\sin \phi )}$$
引入新变量
$${\xi }_1=r\cos \phi ,{\xi }_2=r\sin \phi$$
上式变为
$$e^{-2\pi i(x_1{\xi }_1,x_2{\xi }_2)}$$
故积分为
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu (x_1,x_2)e^{-2\pi (x_1{\xi }_1,x_2{\xi }_2)}d{x}_{1}d{x}_2=\mathcal{F}\mu ({\xi }_1,{\xi }_2)$$
即对${\mathcal{R}}_{\mu }(\rho ,\phi )$的$\rho$做傅里叶变换得到$\mu$的傅里叶变换，再做一次反变换我们就得到了$\mu$