密码学基础——辗转相除法,费马小定理,欧拉定理,裴蜀定理,中国剩余定理

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辗转相除法

辗转相除法, 又名欧几里德算法(Euclidean algorithm),是求最大公约数的一种方法。它的具体做法是:用较小数除较大数,再用出现的余数(第一余数)去除除数,再用出现的余数(第二余数)去除第一余数,如此反复,直到最后余数是0为止。如果是求两个数的最大公约数,那么最后的除数就是这两个数的最大公约数。

另一种求两数的最大公约数的方法是更相减损法。

中文名

辗转相除法

外文名

Euclidean algorithm

别    称

欧几里德算法

用    途

求最大公约数

基本原理

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两个数的最大公约数是指能同时整除它们的最大正整数。

设两数为a、b(a≥b),求a和b最大公约数  的步骤如下:

(1)用a除以b(a≥b),得  。

(2)若  ,则  ;

(3)若  ,则再用b除以  ,得  .

(4)若  ,则  ;若  ,则继续用  除以  ,......,如此下去,直到能整除为止。其最后一个余数为0的除数即为  的最大公约数。

证明

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设两数为a、b(a>b),用  表示a,b的最大公约数,r=a (mod b) 为a除以b的余数,k为a除以b的商,即  。辗转相除法即是要证明  。

第一步:令  ,则设 

第二步:根据前提可知 

第三步:根据第二步结果可知,  也是  的因数

第四步:可以断定  与  互质(这里用反证法进行证明:设  ,则  ,则  ,则a与b的一个公约数  ,故c非a与b的最大公约数,与前面结论矛盾,因此c也是b与r的最大公约数)从而可知  ,继而  。

证毕

注:以上步骤的操作是建立在刚开始时  的基础之上的,即m与n亦互质。 [1] 

算法描述

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用辗转相除法确定两个正整数 a 和 b(a≥b) 的最大公因数  当  时,  ;否则  递归或循环运算得出结果。

算法流程图如下:

伪代码描述如下:

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function gcd(a,b) 

{

if b< >0

        return gcd(b,a mod b);

else

        return a;

}

示例

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例1

123456 和 7890 的最大公因数是 6,这可由下列步骤(其中,“a mod b”是指取 a ÷ b 的余数)看出:

a

b

a mod b

123456

7890

5106

7890

5106

2784

5106

2784

2322

2784

2322

462

2322

462

12

462

12

6

12

6

0

例2

已知不定方程为

  

,利用辗转相除法求出一组整数解 

解:求  的算式为:

所以

所以

所以

  

是不定方程

  

的一组解。

代码实现

c语言

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int GCD(int a,int b)

 

{

     

return b==0?a:GCD(b,a%b);

 

}

Java 实现

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public static int gcd(int m, int n) 

{

     

while (true

    {

     

if ((m = m % n) == 0)

         

return n;

         

if ((n = n % m) == 0)

             

return m;

 

}

 

}



费马小定理

费马小定理是数论中的一个定理:假如是一个整数,是一个质数,那么是p的倍数,可以表示为,如果a不是p的倍数,这个定理也可以写成,

这个书写方式更加常用。

欧拉定理

费马小定理是欧拉定理的一个特殊情况:如果na的最大公因数是1,那么

这里φ(n)是欧拉函数。欧拉函数的值是所有小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数。假如n是一个素数(质数),则φ(n) = n-1,即费马小定理。

欧拉函数

请思考以下问题:

  任意给定正整数n,请问在小于等于n的正整数之中,有多少个与n构成互质关系?(比如,在1到8之中,有多少个数与8构成互质关系?)

计算这个值的方法就叫做欧拉函数,以φ(n)表示。在1到8之中,与8形成互质关系的是1、3、5、7,所以 φ(n) = 4。

φ(n) 的计算方法并不复杂,但是为了得到最后那个公式,需要一步步讨论。

第一种情况

如果n=1,则 φ(1) = 1 。因为1与任何数(包括自身)都构成互质关系。

第二种情况

如果n是质数,则 φ(n)=n-1 。因为质数与小于它的每一个数,都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。

第三种情况

如果n是质数的某一个次方,即 n = p^k (p为质数,k为大于等于1的整数),则

比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4。

这是因为只有当一个数不包含质数p,才可能与n互质。而包含质数p的数一共有p^(k-1)个,即1×p、2×p、3×p、...、p^(k-1)×p,把它们去除,剩下的就是与n互质的数。

上面的式子还可以写成下面的形式:

可以看出,上面的第二种情况是 k=1 时的特例。

第四种情况

如果n可以分解成两个互质的整数之积,

  n = p1 × p2

  φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)

即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。比如,φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。

这一条的证明要用到"中国剩余定理",这里就不展开了,只简单说一下思路:如果a与p1互质(a

第五种情况

因为任意一个大于1的正整数,都可以写成一系列质数的积。

根据第4条的结论,得到

再根据第3条的结论,得到

也就等于

这就是欧拉函数的通用计算公式。比如,1323的欧拉函数,计算过程如下:



裴蜀定理

在数论中,裴蜀等式(英语:Bézout's identity)或裴蜀定理(Bézout's lemma)是一个关于最大公约数(或最大公约式)的定理。裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀,说明了对任何整数、和,关于未知数和的线性丢番图方程(称为裴蜀等式):

有整数解时当且仅当是及的最大公约数的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解,每组解、都称为裴蜀数,可用扩展欧几里得算法求得。

例如,12和42的最大公约数是6,则方程有解。事实上有及。

特别来说,方程 有整数解当且仅当整数互素。

裴蜀等式也可以用来给最大公约数定义:其实就是最小的可以写成形式的正整数。这个定义的本质是整环中“理想”的概念。因此对于多项式整环也有相应的裴蜀定理。



中国剩余定理

中国剩余定理,又称中国余数定理,是数论中的一个关于一元线性同余方程组的定理,说明了一元线性同余方程组有解的准则以及求解方法。也称为孙子定理,古有“韩信点兵”、“孙子定理”、“求一术”(宋沈括)、“鬼谷算”(宋周密)、“隔墙算”(宋 周密)、“剪管术”(宋杨辉)、“秦王暗点兵”、“物不知数”之名。

用现代数学的语言来说明的话,中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组:

有解的判定条件,并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。

中国剩余定理说明:假设整数m1, m2, ... , mn其中任两数互质,则对任意的整数:a1, a2, ... , an,方程组有解,并且通解可以用如下方式构造得到:

  1. 设是整数m1, m2, ... , mn的乘积,并设
  2. ,即是除了mi以外的n − 1个整数的乘积。
  3. 设为模的数论倒数:
  4. 方程组{\displaystyle (S)}的通解形式为: 在模的意义下,方程组只有一个解:
  5. 例子:密码学基础——辗转相除法,费马小定理,欧拉定理,裴蜀定理,中国剩余定理_第1张图片

  6. 密码学基础——辗转相除法,费马小定理,欧拉定理,裴蜀定理,中国剩余定理_第2张图片



     

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