复变函数-复数的基本知识

复数的概念及运算

定义

$z=x+iy$

$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$

其中 $x$ 和 $y$ 是实数，$i$是虚单位 ( $i^2=-1$ ), 称为复数

其中 $x$ 和 $y$ 分别称为复数 $z$ 的实部和虚部，分别记作：

• $x=Rez$
• $y=Imz$

两个复数相等是指它们的实部与虚部分别相等

如果 $Imz=0$，那么称$z$为一个实数；
如果$Imz\ne 0$，那么称$z$为一个虚数；
如果$Imz\ne 0$，而$Rez=0$，那么称$z$为一个纯虚数

四则运算

已知：
$z_1$=$x_1$+$i{y}_1$
$z_2$=$x_2$+$i{y}_2$

和差:$z_1\mp z_1$= $(x_1\mp x_2)\mp i(y_1\mp y_2)$
复数的加减是向量的加减

积:$z_1{z}_2$=$(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+i(x_1{y}_2+x_2{y}_1)$

商:$\frac{z_1}{z_2}$=$\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2}{x_2^2+y_2^2}+i\frac{x_2{y}_1-x_1{y}_2}{x_2^2+y_2^2}$

共轭复数

定义

若$z=x+iy$ , 称 $\overline{z}=x-iy为z$的共轭复数

性质

$(\overline{z_1\mp z_2})=(\overline{z_1}\mp \overline{z_2})$

$(\overline{z_1{z}_2})=\overline{z_1}$ $\overline{z_2}$

$\overline{(\frac{z_1}{z_2})}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$

$\overline{z}$ 的共轭复数是 $z$

$z\overline{z}=Re(z{)}^2+Im(z{)}^2=x^2+y^2$ 可以推出$\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{|z{|}^2}$

$z+\overline{z}=2Re(z)$

$z-\overline{z}=2iIm(z)$

复数的表示方法

（1）点的表示

$z=x+iy$ 与复平面上的点 $(x,y)$一一对应
做题要先画复平面

（2）向量表示法

$z=x+iy可以用OP=(x,y)表示$

向量的长度为复数$z=x+iy$的模或绝对值

正实轴为始边（计算argz要记得他的起点是x轴正半轴） 以 $OP$ 为终边的角的弧度数 称为复数 $z=x+iy$ 的辐角

• 辐角一般表示：$\theta =Argz$
• 主辐角：$\theta =argz$
  $其中\theta 满足-\pi <\theta \le \pi 或者0\le \theta <2\pi 的\theta$

注意：

• $z=0,$辐角不确定
• $z\ne 0,tan=(Arg)$
• 辐角无穷多：$Argz=\theta ={\theta }_0+2k\pi ，k\in Z,{\theta }_0为辐角Argz的主值$
• $|z_1-z_2|表示z_1和z_2之间的距离$

（3）三角表示

$z=x+iy=\sqrt{x^2+y^2}(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}+i\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}})$

由$\{\begin{array}{l}x=rcos\theta \\ y=rsin\theta \end{array}$

可得 $z=r(cos\theta +isin\theta )$

（4）指数表示法

由欧拉公式 $e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta$

可得$z=r{e}^{i\theta }$

复球面

定义

球面上的点,（除去北极 N 外）与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球面上的点来表示复数.

我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应, 记作 $\infty$ .
因而球面上的北极 N 就是复数无穷大 $\infty$ 的几何表示.

球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应, 这样的球面称为复球面.

扩充复平面

定义

包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面

不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面

对于复数 来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意义, 它的模规定为正无穷大
即$|z|=+\infty$

关于 $\infty$ 的四则运算

加法：$\alpha +\infty =\infty +\alpha =\infty ,(\alpha \ne \infty ,因为\infty 有两个方向)$

减法：$\alpha -\infty =\infty -\alpha =\infty ,(\alpha \ne \infty ,因为\infty 有两个方向)$

乘法：$\alpha \cdot \infty =\infty \cdot \alpha =\infty ,(\alpha \ne 0)$

除法：$\frac{\alpha }{\infty }=0,\frac{\infty }{\alpha }=\infty ,(\alpha \ne \infty )\frac{\alpha }{0}=\infty (\alpha \ne 0)$