数据结构笔记（图：最短路径、事件时间、关键路径、拓扑序列）
最短路径
在非网图中，最短路径是指两顶点之间经历的边数最少的路径。
在网图中，最短路径是指两顶点之间经历的边上权值之和最短的路径。
一、Dijkstra算法
基本思想：
设置一个集合S存放已经找到最短路径的顶点，S的初始状态只包含源点v，
对vi∈V-S，假设从源点v到vi的有向边为最短路径（从v到其余顶点的最短路径的初值）。
以后每求得一条最短路径v, …, vk，就将vk加入集合S中，并将路径v, …, vk , vi与原来的假设相比较，取路径长度较小者为最短路径。
重复上述过程，直到集合V中全部顶点加入到集合S中。
路径长度最短的最短路径（即第一条最短路）的特点：
在这条路径上，必定只含一条边，并且这条边上的权值最小。
下一条路径长度次短的最短路径的特点：
它只可能有两种情况：
或者是直接从源点到该点(只含一条边)；
或者是从源点经过顶点v1（第一条最短路径所依附的顶点），再到达该顶点(由两条边组成)。
再下一条路径长度次短的最短路径的特点:
它可能有四种情况：或者是直接从源点到该点(只含一条边)； 或者从源点经过顶点v1，再到达该顶点(由两条边组成)；或者是从源点经过顶点v2，再到达该顶点（两条条边）；或者是从源点经过顶点v1、v2，再到达该顶点（多条边）。
数据结构 :
图的存储结构：邻接矩阵存储结构
数组dist[n]：每个分量dist[i]表示当前所找到的从始点v到终点vi的最短路径的长度。初态为：
若从v到vi有弧，则dist[i]为弧上权值；否则置dist[i]为∞。
数组path[n]：path[i]是一个字符串，表示当前所找到的从始点v到终点vi的最短路径。初态为：若从v到vi有弧，则path[i]为vvi；否则置path[i]空串。
数组s[n]：存放源点和已经找到最短路径的终点，其初态为只有一个源点v。
Dijkstra算法的主要步骤如下：
(1) g为用邻接矩阵表示的带权图。
S←{v0} ， dist［i］= g.arcs［v0］［vi］
,path[i]=“v0vi”或“”；
将v0到其余顶点的路径长度初始化为权值；
(2) 选择vk，使得
vk为目前求得的下一条从v0出发的最短路径的终点。
将vk加入到S中
(3) 修改从v0出发到集合V-S上任一顶点vi的最短路径的长度。如果
dist[k]+ g.arcs[k][i]
dist[k]+ g.arcs[k][i]
path[i]=path[k]+”vi”
(4) 重复(2)、(3) n-1次，即可按最短路径长度的递增顺序，逐个求出v0到图中其它每个顶点的最短路径。
const int MAX=1000;
void Dijkstra(MGraph g, int v){
for ( i =0; i<g.vexnum ; i++){
dist[i]=g.arcs[v][i];
if ( dist[i]!= MAX)
path [i]=g.vertex[v]+g.vertex[i];
else
path[i]=“”;
}
S[0]=g.vertex[v];
num=1;
While (num<g.vextexNum){
k=0;
for(i=0;i<G.vertexNum;i++)
if((dist[i]<dist[k]) k=i
cout<<dist[k]<<path[k];
s[num++]=G.vertex[k];
for(i=0;i<G.vertexNum;i++)
if(dist[k]+g.arc[k][i]<dist[i] {
dist[i]=dist[k]+g.arc[k][i];
path[i]=path[k]+g.vertex[i];
}
}
}
二、Floyd算法
基本思想如下：
设图g用邻接矩阵法表示，
求图g中任意一对顶点vi、 vj间的最短路径。
（-1） 将vi到vj 的最短的路径长度初始化为(vi,vj)， 然后进行如下n次比较和修正：
（0） 在vi、vj间加入顶点v0，比较（vi, v0, vj）和(vi, vj)的路径的长度，取其中较短的路径作为vi到vj的且中间顶点号不大于0的最短路径。
（1） 在vi、vj间加入顶点v1，
得（vi, …，v1）和(v1, …，vj)，其中：
（vi, …, v1）是vi到v1 的且中间顶点号不大于0的最短路径，
(v1, …, vj) 是v1到vj 的且中间顶点号不大于0的最短路径，
这两条路径在上一步中已求出。
将（vi, …, v1, …, vj）与上一步已求出的且vi到vj 中间顶点号不大于0的最短路径比较，取其中较短的路径作为vi到vj 的且中间顶点号不大于1的最短路径。
（2）在vi、vj间加入顶点v2，得
（vi, …, v2）和(v2, …, vj)， 其中：
（vi, …, v2）是vi到v2 的且中间顶点号不大于1的最短路径，
(v2, …, vj) 是v2到vj 的且中间顶点号不大于1的最短路径，
这两条路径在上一步中已求出。
将（vi, …, v2, …, vj）与上一步已求出的且vi到vj 中间顶点号不大于1的最短路径比较， 取其中较短的路径作为vi到vj 的且中间顶点号不大于2的最短路径。
Floyd算法——C++描述
void Floyd(MGraph G)
{
for (i=0; i<G.vertexNum; i++)
for (j=0; j<G.vertexNum; j++)
{
dist[i][j]=G.arc[i][j];
if (dist[i][j]!=∞)
path[i][j]=G.vertex[i]+G.vertex[j];
else path[i][j]="";
}
for (k=0; k<G.vertexNum; k++)
for (i=0; i<G.vertexNum; i++)
for (j=0; j<G.vertexNum; j++)
if (dist[i][k]+dist[k][j]<dist[i][j]) {
dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j];
path[i][j]=path[i][k]+path[k][j];
}
}
三、有向无环图及其应用
AOV网：
在一个表示工程的有向图中，用顶点表示活动，用弧表示活动之间的优先关系，称这样的有向图为顶点表示活动的网，简称AOV网。
AOV网特点：
1、.AOV网中的弧表示活动之间存在的某种制约关系。
2、AOV网中不能出现回路 。
四、拓扑序列：
设G=(V，E)是一个具有n个顶点的有向图，V中的顶点序列v1, v2, …, vn称为一个拓扑序列，当且仅当满足下列条件：若从顶点vi到vj有一条路径，则在顶点的拓扑序列中顶点vi必在顶点vj之前。
拓扑排序：对一个有向图构造拓扑序列的过程称为拓扑排序 。
基本思想：
⑴ 从AOV网中选择一个没有前驱的顶点并且输出；
⑵ 从AOV网中删去该顶点，并且删去所有以该顶点为尾的弧；
⑶ 重复上述两步，直到全部顶点都被输出，或AOV网中不存在没有前驱的顶点。
设计数据结构
- 图的存储结构：采用邻接表存储 ，在顶点表中增加一个入度域。
- 栈S：存储所有无前驱的顶点(入度为零的顶点)。
拓扑排序算法——伪代码
void TOpSort(){
int top=-1, count=0;
for(int i=0;i<vertexnum;i++)
if(adjlist[i].in==0) s[++top]=i;
while(top!=-1){
j=s[top--]; cout <<adjlist[j].vertext; count++;
p=adjlist[j].firstedge;
while(p!=NULL){
k=p->adjvex; adjlist[k].in--;
if(adjlist[k].in==0) s[top++]=k;
p=p->next;
}
}
If (count<vertexNum) cout<<“有回路”；
}
AOE网：
在一个表示工程的带权有向图中，
用顶点表示事件，
用有向边表示活动，
边上的权值表示活动的持续时间，
称这样的有向图叫做边表示活动的网，简称AOE网。
AOE网中没有入边的顶点称为始点（或源点），没有出边的顶点称为终点（或汇点）。
AOE网的性质：
⑴ 只有在某顶点所代表的事件发生后，从该顶点出发的各活动才能开始；
⑵ 只有在进入某顶点的各活动都结束，该顶点所代表的事件才能发生。
关键路径：在AOE网中，从始点到终点具有最大路径长度（该路径上的各个活动所持续的时间之和）的路径称为关键路径。
关键活动：关键路径上的活动称为关键活动。
struct Edge{
int from;
int to;
int e;
int l;
};
class Grap{
int vertexnum,e;
int **adjlist; //邻接矩阵
int start,end;
Edge *edge; //边集数组
public:
Grap(int n,int e);
int path();
};
五、事件发生时间
（一）事件的最早发生时间ve[k]
ve[k]是指从始点开始到顶点vk的最大路径长度。这个长度决定了所有从顶点vk发出的活动能够开工的最早时间。
ve[k]的计算：
q.push(0);//源点事件入队
for(j=0;j<vertexnum;j++) { //初始化每个事件最早发生时间
ve[j]=0; visit[j]=0; }
visit[0]=1;
while(!q.empty()) {
i=q.front(); //利用标准模板库中的队列实现
q.pop();
for(j=0;j<vertexnum;j++){//计算i的邻接点的ve
if(adjlist[i][j]!=9999 && ve[i]+adjlist[i][j]>ve[j] ){
ve[j]=ve[i]+adjlist[i][j];
if(!visit[j]) //如果j没有被访问过，顶点j入队
q.push(j);
visit[j]=1;
}
}
}
（二）事件的最迟发生时间vl[k]
vl[k]是指在不推迟整个工期的前提下,事件vk允许的最晚发生时间
q.push(vertexnum-1);
for(j=0;j<vertexnum;j++) {
vl[j]=ve[vertexnum-1]; visit[j]=0; }
while(!q.empty()) {
i=q.front();
q.pop();
for(j=0;j<vertexnum;j++) {
if(adjlist[j][i]!=9999 && vl[i]-adjlist[j][i]<vl[j] ){
vl[j]=vl[i]-adjlist[j][i];
if(!visit[j])
q.push(j);
visit[j]=1;
}
}
}
（三）活动的最早开始时间e[i] ：
若活动ai是由弧
e[i]=ve[k]
for(i=0;i
edge[i].e=ve[edge[i].from];
}
（四）活动的最晚开始时间l[i]
活动ai的最晚开始时间是指，在不推迟整个工期的前提下， ai必须开始的最晚时间。
若ai由弧
则ai的最晚开始时间要保证事件vj的最迟发生时间不拖后。
因此，有：
l[i]=vl[j]-len
for(i=0;i<e;i++)
{
edge[i].e=ve[edge[i].from];
edge[i].l=vl[edge[i].to]-adjlist[edge[i].from][edge[i].to];
}
六、图的连通性
无向图的连通性：
要想判定一个无向图是否为连通图，或有几个连通分量，通过对无向图遍历即可得到结果。
连通图：仅需从图中任一顶点出发，进行深度优先搜索（或广度优先搜索），便可访问到图中所有顶点。
非连通图：需从多个顶点出发进行搜索，而每一次从一个新的起始点出发进行搜索过程中得到的顶点访问序列恰为其各个连通分量中的顶点集。
⑴ 从某顶点出发进行深度优先遍历，并按其所有邻接点都访问完（即出栈）的顺序将顶点排列起来。
⑵ 从最后完成访问的顶点出发，沿着以该顶点为头的弧作逆向的深度优先遍历。若不能访问到所有顶点，则从余下的顶点中最后访问的那个顶点出发，继续作逆向的深度优先遍历，直至有向图中所有顶点都被访问到为止。