无穷小微积分（网络电子版）作者J. Keisler的76岁生日

    大家应该知道，明天是《无穷小微积分》（网络电子版）作者J. Keisler教授的76岁生日。这一天很平凡，也很不平凡。为什么？

         以下是J.Keisler教授的近照，面目慈祥可亲。说句实话，我们两人不曾谋面（相识），但心却是相通的，对无穷小持正面看法（或看法）。

         J.keisler教授生于1936年12月3日，比我大3岁，算是同龄人。他现在是美国Misconsin-Madison大学的名誉数学教授。1961年，J.Keisler获得博士学位，年仅25岁。他的博士论文名为“Ultraproduct and elementary classes”（”超积与初等类”），指导教师是著名数理逻辑学家AlfredTarski。

          在数学探索的征程上，如果一个人能够切实做好一件有意义的事情就算不错了。我认为，J.Keisler可以说就是这样的一个人，他数学发展的转折关头抓住了无穷小微积分这件事情，就算是抓对了。有人问：这本教材是怎么写出来的？是闭门造车吗？非也。从1969年开始，J.Keisler本人及其博士生K.Sillivan前后在5所学校里面进行所谓‘Controlled experiment“（受控实验”），结果发现：“Elementary Calculus to have advantages over the standard method of teaching calculus”，请见《美国数学月刊》83卷第5期（370至375页）。由此可见，该教材出版（1976年）是有多年教学实践经验作为有力支撑的。

         另外，我个人在中国人民大学信息管理系任教期间（1978年至1989年），在微积分教学过程中，曾多次介绍了J。J.Keisler的无穷小微积分的基本思想，得到学生们的好评（并非一致，有的同学听不明白，持怀疑态度）。这里最关键的问题是，一定要讲清楚不等式：

                                                      0 *< ε *< a                  （a为任何正实数）

的正确含义，即这里的小于号“*<”不同于平常的小于号“<”，而是“<”号（一种关系）的”自然延伸“（也叫“自然“扩张”）。省掉这个”*“当然不行。记号”*<“是超实数系*R里面的小于关系，而不是普通实数系R上的小于关心。也就是说，我们必须站在超实数系*R的角度来看问题，头脑不能犯胡涂，发蒙。