无穷小微积分的现实意义

     20116月,J.Keisler撰写了”无穷小微积分的基础“(电子版),英文名称是”FOUNDATIONS OF INFINITESIMAL CALCULUS“(本文简称为”无穷小基础“),作为教材《基础微积分》(2000年电子版)的教学参考书。

          实际上,从1969年起,J.Keisler教授就专注于将A.Robinson的现代无穷小理论用于微积分学的教学实践,四十多年从不间断,精神确实可嘉也。在漫长而多变的这四十多年里,作者在教学与科学研究的实践中究竟获得了什么”心得“,有什么认识,对此,我感到很好奇。

           在”无穷小基础“的序言中,作者说:”In 1960 Abraham Robinson (1918–1974) solved the three hundred year old problem of giving a rigorous development of the calculus based on infinitesimals. Robinson’s achievement was one of the major mathematical advances of the twentieth century.”意思是说:“在上世纪60年代,A.Robinson(1918-1974)解决了一个存在三百多年的老问题,给基于无穷小的微积分学一个严谨的处理。Robinson所取得的成就是二十世纪数学的重大进展之一。

          回顾过去,我们这一代数学人,是在上世纪50年代菲氏《微积分学教程》(非集合论)的培育下成长起来的。说句实在话,近五十年来,Robinson的现代无穷小思想并没有影响到我国数学发展的历史进程。推出无穷小微积分袖珍电子书就是想改变这一现实状况,把现代无穷小的理论引入国内的微积分学。

          实际上,J.Keisler教授是上世纪数理逻辑模型论的领头人之一,在模型论方面有很高的造诣与建树。说得准确一点,无穷小是在模型论的护送下重返现代微积分学的,再度赶走它几乎是不可能的事情。世界著名数理逻辑学家哥德尔称:无穷小分析“will be the analysis of the future”(无穷小分析将是未来的数学分析)。

           上世纪五十年代,在国内”全盘苏化“路线的影响下,用菲氏《微积分学教程》培育了一大批数学人才。现在,菲氏的徒子、徒孙占据着重要的社会位置与教学岗位,正在春风得意,要想撼动他们绝非易事。

            现代无穷小微积分的理论基础与历史渊源非常之深厚,决不是某个人的喜好。实际上,要讲现代无穷小的故事,就是三天三夜也讲不完。在历史上,微积分学的原始名字就叫”无穷小演算”(即“无穷小微积分”)。现在,是该为无穷小恢复名誉的时候了。我们坚信,微积分袖珍电子书的发布将为此立下汗马功劳。



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