二次型，正定二次型

二次型：含有n个变量$x_1,x_2,...x_n$的二次齐次函数:
$f(x_1,x_2,...x_n)=a_{11}{x}_1^2+a_{12}{x}_1{x}_2+a_{13}{x}_1{x}_3+a_{14}{x}_1{x}_4...+a_{1n}{x}_1{x}_n$
　　　　　　　　$＋a_{21}{x}_2{x}_1+a_{22}{x}_2^2+a_{23}{x}_1{x}_3+a_{24}{x}_2{x}_4...+a_{2n}{x}_2{x}_n$
　　　　　　　　…
　　　　　　　　$+a_{n1}{x}_n{x}_1+a_{n2}{x}_n{x}_2+a_{n3}{x}_n{x}_3+a_{n4}{x}_n{x}_4...+a_{nn}{x}_n^2$
称为二次型。 二次型可以用矩阵表示记作：
$$f=X^{T}AX$$
其中$X=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ...\\ x_n\end{array}\right]$， $A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}\\ ...& & & \\ a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{nn}\end{array}\right]$，可以通过先计算$AX$，再计算$X^{T}AX$来证明：
$$AX=\left[\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+...+a_{1n}{x}_n\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+...+a_{2n}{x}_n\\ ...\\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+...+a_{nn}{x}_n\end{array}\right]$$在左乘$X^T$得到原式：
$$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ...\\ x_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+...+a_{1n}{x}_n\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+...+a_{2n}{x}_n\\ ...\\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+...+a_{nn}{x}_n\end{array}\right]$$
我们来求一下二次型的导数：
$\frac{df(x_1,x_2,...x_n)}{d{x}_1}=2a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+a_{13}{x}_3+a_{14}{x}_4...+a_{1n}{x}_n$
　　　　　　　　$＋a_{21}{x}_2+0+0+0...+0$
　　　　 　　　　…
　　　　　　　　$+a_{n1}{x}_n+0+0+0...+0$
$=2a_{11}{x}_1+(a_{12}+a_{21})x_2+(a_{13}+a_{31})x_3+(a_{14}+a_{41})x_4...+(a_{1n}+a_{n1})x_n$，其余的还有对$x_1,x_2...x_n$的求导。
正定二次型：设二次型$f=X^{T}AX$，如果对任何$X̸=0$，都有$f(X)>0$，则称$f$为正定二次型，并称对称矩阵$A$是正定的。
由于$A$是对称矩阵，所以其导数为：
$\frac{df(x_1,x_2,...x_n)}{d{x}_1}=2a_{11}{x}_1+2a_{12}{x}_2+2a_{13}{x}_3+2a_{14}{x}_4...+2a_{1n}{x}_n$
$\frac{df(x_1,x_2,...x_n)}{d{x}_2}=2a_{21}{x}_1+2a_{22}{x}_2+2a_{23}{x}_3+2a_{24}{x}_4...+2a_{2n}{x}_n$
$....$
所以$$▽f(X)=2AX$$
举个例子：

其对其求导可得矩阵：
$$▽f(X)=\left[\begin{array}{c}2x-4y\\ -4x+z\\ ...\\ -6z+y\end{array}\right]$$