数学物理方程与特殊函数—分离变量法

1.基础概念

1.1 三类典型方程

弦振动方程

热传导方程

拉普拉斯方程

1.2 基本概念

线性偏微分方程： 方程关于未知数及其各阶偏导数均是一次的。
古典解： 具有偏微分方程中各阶连续偏导数，且代入方程后能使方程成为恒等式的函数。
定解问题：泛定方程和定解条件

• 初值/柯西问题：泛定方程和初始条件
• 边值问题：泛定方程和边界条件
• 混合问题：泛定方程和初始条件、边界条件
  两类边值问题
• 第一类边值问题/狄利克雷问题/狄氏问题：函数本身在边界上满足某条件。
• 第一类边值问题/诺伊曼问题：函数方向导数在边界上满足某条件。

叠加原理： 解的叠加还是解。
两个自变量二阶微分方程的分类

对三类典型方程的理解

2. 分离变量法

分离变量法的思路是把未知的多元函数分解成若干个一元函数的乘积，这样就可以把偏微分方程转化成若干个常微分方程的问题。
而一个多元函数是否能分解成若干一元函数的乘积，需要考虑其物理模型：

• 弦振动中，由振动而发出的声音可以分解成不同频率的单音，每种单音振动时形成正弦曲线，振幅依赖于时间t。

2.1 有界弦的自由振动

齐次


此时得到两个常微分方程：

此时结合边界条件，可以得到一个常微分方程的边值问题，即：
固有值（特征值）、固有函数（特征函数）、施图姆-刘维尔问题


至此得到关于变量$x$的边值问题的固有值和固有函数，将固有值$\lambda$代入关于变量$t$的常微分方程中，可以得到：

并且得到一系列特解，由叠加原理即可得到方程的解的级数形式：

考虑初值条件：


之前在分离变量将偏微分方程化为两个常微分方程后，对于先解哪个我们没有讨论，但是这里可以看出，初值条件无法由关于$t$的一元函数独立表示，因此选择先解边值问题的常微分方程。

2.1.1 存在性定理

2.1.2 物理意义

2.2有限长杆的热传导问题

分离变量：

先解固有值问题：


固有值是由边值条件决定的，因此不同的边值条件会有不同的固有值。

2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题

2.3.1 矩形域上的拉普拉斯方程边值问题

分离变量：


解边值问题：


求另一个常微分方程的解，并由叠加定理得到解的级数形式：

2.3.2 圆域上拉普拉斯方程的边值问题

关于坐标变换的推导：

分离变量：

得到两个常微分方程的定解问题：


解决固有值问题：

代入关于r的定解问题中得：


利用叠加定理，就可以得到原问题的线性解：

该解做适当变形后可以得到圆域上的泊松公式：

2.4 非齐次方程的求解-固有函数法

2.4.1 有界弦的强迫振动方程

我们从物理意义的角度分析这个方程，可以将其看成两部分的叠加：一是外界的强迫力，二是弦所处的初始状态。因此我们可以将问题的解分解为以下两部分，得到每一部分的解，相加即得原非齐次问题的解。

仅有初始状态引起弦振动的问题，其实就是齐次弦振动方程的解，我们已经讨论过，下面解决仅有外界强迫力引起弦振动的问题。

2.4.2 有限长杆的导热问题

同样的思路，我们只需解决非齐次方程和齐次边界条件、齐次初值条件的问题即可。

2.4.3泊松方程

我们同样采用固有函数法进行求解，以下例进行说明：

2.4.4 一个方便的解法

对于非齐次方程，如果我们已经知道了一个特解，就可以通过函数代换将其转换成齐次方程。
以上面泊松方程的例子说明：

2.5具有非齐次边界的问题

在 2.4.4中，我们提到可以通过选取合适的函数进行函数变换，来使非齐次条件转换成齐次条件。这个思路是非常好的，对于非齐次边界，我们以同样的思路考虑，即选取合适的辅助函数，使进行函数变换后边界条件变成齐次的。
我们称之为，奥义の辅助函数法。



显然，辅助函数的选取需要考虑边界条件的类型，下面给出几种情况对应的辅助函数：

在一些特殊的情况中，自由项与边界条件均与变量t无关，这时选取辅助函数自然也相对简单。

以下例说明：

2.6 固有值与固有函数

含参变量$\lambda$的常微分方程的边值问题被称为固有值问题，在前面求解弦振动方程和热传导方程时我们已经见识过了。在此做一些更详细的讨论。
施图姆-刘维尔方程

施图姆-刘维尔问题

关于固有值与固有函数的结论

2.7 小结

1. 对于一维波动方程和热传导方程的定解问题，基本上是以下三种情况：
   a. 当方程与边值条件均为齐次时，直接用分离变量法求解。
   b. 当边界条件为齐次，方程和初值条件为非齐次时，原定解问题可以分解成两个，一是方程非齐次，定解条件齐次，用固有函数法求解；二是方程齐次，定解条件非齐次，用分离变量法求解。
   c. 当边界条件为非齐次的时候，则需要引入辅助函数来把边界条件化成齐次的，然后应用上述方法。
2. 对于二维拉普拉斯方程的边值问题，应根据求解区域的形状适当地选择坐标系，以便于求解。应当注意的是，只有当求解区域很规则时，才可以应用分离变量法求解拉普拉斯的边值问题。