字节跳动面试算法题 一堆火柴棒长度的序列，切分成不下降的火柴棒长度序列，要求切割长度最小

同学问我一个字节跳动的面试的算法问题

昨晚我的一个同学问了我下面这个问题，说是字节跳动面试的题目：

一根火柴能拆成两份，然后放在原处。
拆了的 还可以再拆
最后保证非下降
问 最少要拆几次
比如 3 5 13 9 12 变成 3 5 6 7 9 12。1次就好了

---

我的第一感觉是这个或许应该可以线性复杂度解决，很有可能是有贪心策略的。
首先想到的是，应该从后面开始扫起，因为前面的火柴棒显然不能超过后面的火柴棒的长度。

然后我发现来可能需要解决一个问题，如果前面的火柴棒比后面的长，那么怎么切分它合适？

一个自然的想法是要让最短的小棒尽可能长，这样对于前面的小棒而言上限就更大一些。显然长度上限越大越好（至少上限大的不会比上限小的差）。

但是，我发现需要考虑一个问题，虽然这样有利于前面的小棒切分数尽可能少，但是对当前的方案来讲，是否存在一种划分方案，它切分的出来的最短小棒虽然更短一些，但是对于前面的小棒的限制效果是一样的（比如最短长棒尽可能长可以达到10 ，而另一种切分方案最短小棒是8，而前面的小棒长度是7，那么10和8对于7的限制效果是一样的），但是切分出来的小棒数目更少。

**稍微一想，直觉上可以看出不存在这种情况。因为如果最短小棒更短的切割方案，直觉上就是切分的比较零碎，那么切分成的小棒数就不应该更少。**当然，这个直觉上是对的结论没有那么显然。所以，我后面的分析去证明了这个结论，即尽可能切的数目小的情况下，最短小棒越长， 切分出来的小棒数越少。

所以问题就变成了，知道小棒原始长度和小棒长度上限，让切分成的最短小棒长度尽可能长，最短小棒可以是多长，以及最少要切几次。

于是就有了下面的子问题A和子问题B.

---

$$n=\sum _i^k{a}_i(a_i\in N^{+})$$
则称$a_1,a_2,\dots ,a_k$为$n$的一种整数划分。

子问题A(a,b)

输入$a,b(b>a)$。问在$b$的所有划分中，要求划分中的最大数不超过$a$，最小数最大可以是多少。

即求满足下式最大的$c$.
$$b=\sum _i^k{b}_i\&\underset{i}{\overset{k}{\max }}\{b_i\}\le a\&\underset{i}{\overset{k}{\min }}\{b_i\}=c$$

1. $b=ka\Rightarrow c=a.$
2. $b=ka+r(1\le r\ge a-1)$
   1. $k\ge (a-2).$
      1. 显然$c=a-1.$
      2. 先划分成k根a和一根r的小棒，之后，我们只需要将$a-1-r\le a-2\le k$根a长度的小棒每根截取$1$加到$r$这个小棒即可构造出最小长度为$c=a-1$ 的划分方案。
      3. 即$a\nmid b\wedge b\ge (a-1{)}^2\Rightarrow c=a-1.$
   2. $k<(a-2).$ 令$c_0=\lfloor \frac{b}{k+1}\rfloor =bdiv(k+1)$,则$c=c_0$. 下为证明.
      1. $\because b>ka$.
         1. 所以拆分的小棒不可能少于$k$ 根.
      2. 假设划分成 $p(p>k)$ 根小棒，最短的小棒$c_1>c_0$.
         1. 则$b\ge p{c}_1\ge (k+1)(c_0+1)$.
         2. 又$b=c_0\cdot (k+1)+r_0(0\le r_0<k+1)\to b<c_0\cdot (k+1)+(k+1)=(c_0+1)(k+1)$.
         3. 显然矛盾。故不存在最小长度大于$c_0$的方案。
      3. 考虑划分成$k+1$ 根小棒.
         1. 注意有 $b=c_0\cdot (k+1)+r_0(0\le r_0<k+1)$.
         2. 先$k+1$根 $c_0$ 的小棒，然后剩余的 $r_0$ 给 $r_0$ 根小棒各自加1即可。
         3. 所以存在一种划分方案最短长度为$c_0$.

结论

返回$c$.

---

子问题B(a,b,n)

假设拆分可以使用的数限于$[a,b]$ 之间的正整数，问$n$ 可否实现整数划分，以及划分的根数最小可以是多少?

讨论可以拆分的数 $n$ 的情况:
$$\begin{gathered} \left[a,b\right] \\ \left[2a,2b\right] \\ \left[3a,3b\right] \\ \dots \end{gathered}$$

$kb \ge (k+1)a \quad(k \in N^{+}) ;\Rightarrow; k \ge \lceil \frac{a}{b-a} \rceil = (b-1); div ; (b-a) $

也就是说$k=(b-1)div(b-a)$,可由限于$[a,b]$ 之间的正整数拆分表示的数落在以下有限个区间内：
$$\begin{gathered} \left[a,b\right] \\ \left[2a,2b\right] \\ \left[3a,3b\right] \\ \dots \\ \left[(k-1)a,(k-1)b\right] \\ \left[ka,+\infty \right] \end{gathered}$$

另外，显然，假设长度$n$可以由上述规则进行整数拆分表示，则，如果$n<=mb$,则$n$一定可以划分成的小棒数一定不超过成$m$根。如果$(m-1)b<n<=mb$则不但可以划分成m根小棒，而且至少需要m根小棒才可以划分。换句话说可能存在多余m根小棒的划分方案，但是一定不存在小于m根的方案，并且一定存在一种方案可以划分成m根。

结论

若 $n$ 可划分，划分的最小根数d满足$(d-1)\cdot b<n\le d\cdot b$,即 $d=\lceil \frac{n}{b}\rceil =(n+b-1)divb$.

返回是否可以划分及$d$.

---

回到原问题

输入数组$a[1..n]$.

算法

r=a[n] # 长度上限
count = 0
for i = n downto 1
	if a[i] <= r
		r = a[i] # 更新长度上限
		continue
	l = A(r) # 长度下限
	ok, d = B(l,r,a[i]-l) // 事实上ok肯定是true，因为长度下限是由子问题A求出来的。
	count += d
	r = l # 更新长度上限
print(count)

正确性说明

长度为 $n$ 的小棒,划分长度上限为$r$, 记$l=A(n),d=1+B(l,r,n-l)$. 则根据以上关于子问题A、B的讨论知道一定存在一种划分方案$b_1,b_2,\dots ,b_d(b_1=l\wedge b_i\ge l)$.

为了方便讨论，不妨假设划分方案中的数是不下降排列的，即$\forall i(i<n)\Rightarrow b_i\le b_{i+1}$.

---

假设存在一种划分方案$c_1,c_2,\dots ,c_m(m<d)$.

由子问题A可知$c_1\le b_1$.

因为子问题B是在限定了长度上下限时，求最小划分根数。故有：

KaTeX parse error: Can't use function '$' in math mode at position 112: …,r,n-b_1) = d-1$̲. 即$m \ge d

显然与假设$m<d$矛盾。

结论1

这就说明划分方案
$$b_1,b_2,\dots ,b_d(b_1=l\wedge b_i\ge l)$$
既是最短的小棒尽可能长的最佳方案，又是划分划分小棒数尽可能少的最佳方案。

---

1. 一方面，对于当前小棒来讲，划分小棒数应该尽可能小；

2. 另一方面，显然划分的最短小棒棒长会作为前面的小棒的划分上限，所以这个最短小棒越长越好。

而结论1说明我们的划分方案在上面两个方面努力的结果是一致的，所以我们可以采取算法所述的贪心措施。

复杂度

显然子问题A和子问题B都是$O(1)$.

总的时间复杂度是$O(n)$.