kalman滤波理解一：理论框架

关于kalman滤波的学习，一直不得要领，看了很多书和文章但总觉得理解不透，究其原因就是这些书和文章都是采用数学理论推导的方法，而没有从实际应用中出发，本文就将我理解的kalman滤波进行介绍，灵感来源是优达学城的无人驾驶课程，里面老师对kalman滤波的介绍让我耳目一新：

kalman滤波的理论框架是全概率法则和贝叶斯法则，在设定中假设预测和感知均有误差，且均服从正态分布，且预测过程和感知过程采用不同的概率更新策略，具体采取的策略如下所示：

• 预测过程符合全概率法则，是卷积过程，即采用概率分布相加；
• 感知过程符合贝叶斯法则，是乘积过程，即采用概率分布相乘；

（由于后文中有很多mathtype公式，直接复制拷贝word公式会错乱，因此公式均采用截图的方式）

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以一维运动为例，假入有一个小车，开始位于x=  的位置，但是由于误差的存在，其真实分布是高斯分布，其方差是 ，即其原始位置分布是 ，当该小车经过运动，到达终点位置，但是由于运动也是不准确的（打滑等），其移动过程的分布也是高斯分布，移动分布为，那么其最终的位置分布是多少呢？

                                                                 

求预测位置符合全概率法则，即：

                                                                           

即，最终分布的均值为均值相加，方差也为方差相加，感性理解就是一个不确定的分布，经过一段不确定的移动后，其方差更大了，分布中心为两个中心和。

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考虑另外一种情况，假入有一个小车，开始位于x= 的位置，但是由于误差的存在，其真实分布是高斯分布，其方差是 ，即其原始位置分布是，当时此时有一个传感器检测到该小车位于，分布方差为，那么小车的真实位置分布为多少呢？

                                                             

这是一个感知过程，其感知过程符合贝叶斯法则，其最终分布是两个分布相乘，即

                                                

感性理解就是一个不确定位置的小车，经过传感器观测，其最终位置分布方差会更小，且位置中心位于两个分布之间。

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总结：当一个位置小车经过移动后，且其定位和移动过程都是高斯分布时，其最终估计位置分布会更分散，即更不准确；当一个小车经过传感器观测定位，且其定位和观测都是高斯分布时，其观测后的位置分布会更集中，即更准确。

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下面将感知过程中采用贝叶斯融合分布扩展到多维模式，该公式也是kalman滤波的核心，对后面理解kalman滤波有很大的作用。

在一维模式下，融合后的均值和方差分别为：

                                                            

我们令

                                                                                  

则，

                                                                              

将该结果扩展到多维情况下，则为：

                                                                               

上式就是多维贝叶斯融合分布，该公式在下篇将kalman滤波的测量更新过程会用到。