数据结构与算法分析(C)习题1.5解答 证明 log x < x

原题:

      证明: log x < x for all x>0

看了标准答案的提示, 证明的很巧妙.

为了更直观, 我用归纳法的经典定义来证明一下.

即 :

证明：0

证明：1

证明：2

假设 2 < x <= k成立.

证明: 2< x <= k+1 时 log x < x.

解:

1. 当0

   (至于为什么log1 在log 0 到 log1 中最大,  因为log x 函数是单调增加的, 即 x>y 时log x > log y, 证明这个显然的单结论也是不简单的. 我推导了一下, 推到要证明 当x>0 时, 证明 2^x>1 , 而这个证明也要用到归纳法、反证法,  抽时间再证明一下)

2. 当1

3. 当2< x <=3 时，log x =log(2*x/2) = log2 +log(x/2)=1+log(x/2)

   因为x<=3,x/2 <=1.5根据前两步， log(x/2) < x/2

      故 log x< 1+ x/2

      因为 x >2 所以 1+x/2 < x/2 +x/2 = x

      所以 log x< x

3. 假设2 < x <= k (k为整数)时log x < x.

4. 当2 < x < = k+1 时.

      log x = log(2 * x/2) = log 2 + log (x/2)  = 1 + log(x/2)

x< = k+1  =>  x/2< = (K+1)/2  = k/2 + 1/2  <  k/2 + k/2  = k

x/2 < k  => 1+log(x/2) < 1+x/2  < x/2 + x/2 =x

故：log x < x

推导关键就1步, log x = 1 + log(x/2).