LeetCode 5198. 丑数 III（Java）容斥原理和二分查找
题目链接：5198. 丑数 III
请你帮忙设计一个程序，用来找出第 n 个丑数。
丑数是可以被 a 或 b 或 c 整除的 正整数。
示例 1：
输入：n = 3, a = 2, b = 3, c = 5
输出：4
解释：丑数序列为 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10… 其中第 3 个是 4。
示例 2：
输入：n = 4, a = 2, b = 3, c = 4
输出：6
解释：丑数序列为 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12… 其中第 4 个是 6。
示例 3：
输入：n = 5, a = 2, b = 11, c = 13
输出：10
解释：丑数序列为 2, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 13… 其中第 5 个是 10。
示例 4：
输入：n = 1000000000, a = 2, b = 217983653, c = 336916467
输出：1999999984
提示：
1 <= n, a, b, c <= 10^91 <= a * b * c <= 10^18- 本题结果在
[1, 2 * 10^9]的范围内
前言：
这是我第一次遇见 丑数 这个概念。
如果之前见过丑数的同学可能会发现，此题的丑数定义和【丑数 - 百度百科】的定义是不同的。
此题的丑数定义：丑数是可以被 a 或 b 或 c 整除的正整数。
题目比较坑的一点是示例 2 中的丑数序列是错的，它缺少 10。因为 10 能被 2 整除，所以 10 是丑数。
本来就没见过丑数，它还弄个错误的示例，导致写题的时候我的思路偏离。
题解：
知道丑数的定义，那么可以采用暴力搜索的方法找到第 n 个丑数。但是测试示例 4 的时候会 TLE。
因此需另寻他法。
给定一个数 n，和三个数 2，3，5，那么区间 [1, n] 有多少个丑数呢？
根据定义：我们知道 2 的倍数肯定是丑数，有多少个 2 的倍数呢？当然是 n / 2 个啦（全部向下取整）。
同理 3 的倍数也是，有 n / 3 个。
5 的倍数有 n / 5 个。
现在你会发现另一个问题，比如 6 是 2 的倍数，也是 3 的倍数。那岂不是计算了两遍？没错，确实算了两遍。因此我们需要知道 【容斥原理 - 百度百科】。说起来陌生，但是我相信大家都用过。
因此，我们可以知道区间 [1, n] 的丑数个数了。即
n u m = ⌊ n a ⌋ + ⌊ n b ⌋ + ⌊ n c ⌋ − ⌊ n b c ⌋ − ⌊ n a c ⌋ − ⌊ n a b ⌋ + ⌊ n a b c ⌋ num=\lfloor\frac{n}{a}\rfloor+\lfloor\frac{n}{b}\rfloor+\lfloor\frac{n}{c}\rfloor-\lfloor\frac{n}{bc}\rfloor-\lfloor\frac{n}{ac}\rfloor-\lfloor\frac{n}{ab}\rfloor+\lfloor\frac{n}{abc}\rfloor num=⌊an⌋+⌊bn⌋+⌊cn⌋−⌊bcn⌋−⌊acn⌋−⌊abn⌋+⌊abcn⌋
代码表示为：num = n / a + n / b + n / c - n / bc - n / ac - n / ab + n / abc
需要注意的是，题目没有说给的三个数是互质的，因此需要计算最小公倍数和最大公约数。
然后再用【二分查找 - 百度百科】逼近第 n 个丑数 U n U_n Un。
时间复杂度： 二分查找时间复杂度为 O ( l o g 2 n ) O(log2n) O(log2n)
空间复杂度： O ( 1 ) O(1) O(1)
Java：
class Solution {
public int nthUglyNumber( int n,
int a,
int b,
int c) {
long ab = lcm(a, b);// a,b的最小公倍数
long ac = lcm(a, c);
long bc = lcm(b, c);
long abc = lcm(ab, c);
long left = 1, right = 2000000000;
while (left < right) {
long mid = left + right >> 1;// 中间值，+优先级高于>>
// 利用容斥原理计算区间[1, mid]的丑数
long num = mid / a + mid / b + mid / c;
num -= mid / bc + mid / ac + mid / ab;
num += mid / abc;
if (num < n) {
left = mid + 1;// 取区间[mid + 1, right]
} else {
right = mid;// 取区间[left, mid]
}
}
return (int) left;
}
// 计算最小公倍数
private long lcm( long a,
long b) {
return a / gcd(a, b) * b;// 需要调用gcd
}
// 计算最大公约数
private long gcd( long a,
long b) {
return b > 0 ? gcd(b, a % b) : a;
}
}