poj 2728 Desert King（最小比率生成树 / 0-1分数规划 / 二分）

二分答案，我们要找最小的答案，如果有更小的答案说明 $\sum W-Z\ast \sum L<=0$。

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using namespace std;

const int N = 500007, INF = 0x3f3f3f3f;
const double eps = 1e-6;
double dist[N];
int x[N], y[N], z[N]; 
int n, m;
bool vis[N];

double get_dist(int a, int b){
     
    return sqrt((x[a] - x[b]) * (x[a] - x[b]) + (y[a] - y[b]) * (y[a] - y[b]));
}

bool check(double x){
     
    fill(dist, dist + 1 + n, INF);
    memset(vis, 0, sizeof vis);
    double ans = 0.0;
    dist[1] = 0.0;
    for(int i = 1; i <= n; ++ i){
     
        int t = -1;
        for(int j = 1; j <= n; ++ j){
     
            if(!vis[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t]))
            t = j;
        }
        vis[t] = 1;
        ans += dist[t];
        for(int j = 1;j <= n;++ j){
     
            if(!vis[j] && dist[j] > fabs(z[j] - z[t]) - get_dist(t, j) * x + eps)
                dist[j] = fabs(z[j] - z[t]) - get_dist(t, j) * x;
        }
    }
    return ans >= 0.0;
}

int main(){
     
    while(~scanf("%d", &n) && n){
     
        for(int i = 1; i <= n; ++ i){
     
            scanf("%d%d%d", &x[i], &y[i], &z[i]);
            
        }
        double l = 0.0, r = 10000001.0;
        while((r - l) > eps){
     
            double mid = (l + r) / 2;
            if(check(mid))l = mid;
            else r = mid;
        }
        printf("%.3f\n", l);
    }
    
}
/*
        x=w/l -> w-l*x =0
        f(x) = w-l*x;
        将边权更改为w-l*x来求生成树

       因为f(x)是个单调递减函数,随着x的增大而减少
       对于任意一个生成树如果
        f(x)>0        则   l需要增大
        f(x)<0        否则 l需要减小

       若要满足f(x)==0恒成立
       1.若要x取最大值，则不能存在任意一个生成树f(x)>0,否则x还能继续增大,即任意生成树f(x)<=0
         若存在一个生成树f(x)>0，则那个生成树的比率一定大于当前x,w/l > x -> w-l*x > 0
       2.若要x取最小值，则不能存在任意一个生成树f(x)<0,否则x还能继续减小,即任意生成树f(x)>=0
         若存在一个生成树f(x)<0，则那个生成树的比率一定小于当前x,w/l < x -> w-l*x < 0

       若要满足f(x)>0恒成立，则最小生成树>0
       若要满足f(x)<0恒成立，则最大生成树<0

        此题目求解最小的x值，也就是检查是否所有的生成树f(x)>=0，即最小生成树>=0

        如果最小生成树大于0,所有的生成树都满足f(x)>0,尝试增加x得到f(x)=0
        否则，有生成树不满足这个条件，那么x一定要减少来使所有f(x)>=0

       kur边数较多，复杂度(mlog*log)排序加二分，过不去
       使用prim算法
    */

二分+ 迭代