《算法竞赛入门经典》-【第七章：暴力求解法】-7.2：枚举排列

一、问题：

给出包含n个数字（可能重复）的数组P，打印出其全排列

二、思路：

首先想的是能不能用数学的方法来解决这个问题，很遗憾的我们只记得可以算出全排列的个数，要把排列结果全部输出是不可能的。

那么再考虑一下

用暴力求解（brute force）的方法，也就是最naive，最直接的办法：从P中

每次取出一个与已经取出的数字不重复的数字

（这里需要保证不重复）

，经过n次（这里已经保证了不会遗漏），就可以得到一个排列结果（这里需要保证排列结果不重复不遗漏）。这种思路很好理解，但是存在着很明显需要解决的问题：

1. 每次生成排列时，如何实现不遗漏不重复的“取”数字？

只要取n次，每次取得数字不重复，那么自然就不会遗漏，因此关键在于不重复：可以考虑把取出的数字放在一个数组A中，下次取的时候通过和此数组对比来决定取哪个数字。这里面还有个细节，如果P中的n个数是互不重复的，那么只需要取与A中数字不等的数字即可，但是如果P中的n个数字有重复的话，则可以取

与A中数字

相等的数，只要这个相等的数字在A中的出现次数小于原数组P中的总次数即可。

2. 如何不遗漏

不重复

地取得所有的排列结果？

如果天马行空地取数，很有可能不断地取到重复的排列，最后导致永远都无法不遗漏取出所有的不重复的排列。为了达到不遗漏不重复的目的，对于不同排列的构造顺序是有要求的。这个构造顺序的设计就是本算法的核心所在。我们耐心的来分析，简单起见，先考虑n个数字不重复的情况，再简化一下，假设就是1,2,3,4这四个数字（特例，简化是思维中最常见，最自然但是也最有效的方法）。我们就来列出它的全排列，首先自然而然我们把排列分为了4组，1开头的，2开头的，3开头的和4开头的，下面分别把他们列出来：

先列1开头的：

1 2 3 4

1 2 4 3

1 3 2 4

1 3 4 2

1 4 2 3

1 4 3 2

再列2开头的：

2 1 3 4

2 1 4 3

2 3 1 4

2 3 4 1

2 4 1 3

2 4 3 1

3开头的和4开头的不用列了，因为在自动动手列的过程中，我们已经感受到了其中的规律。对于每个排列，我们脑海中做的事情是这样的，确定第1个数字（分4组就是在做这个事情），确定剩下的数字（以1开头的排列为例，我们很自然的把剩下的2,3,4这三个数字做了全排列）而对于2,3,4这三个数字的全排列，我们的做法仍然是：确定第一个数字，然后确定剩下的数字。这里的逻辑最合适的实现的方法就是递归。因为

适合用递归来解决的问题的特点是：

可以分步骤来解决的问题，而且每一步里面都有一个不变的逻辑。而本问题可以完美地匹配到这些特点。对于更复杂的情况，也满足这个结论。

三、代码

1. 伪代码

cur：当前步数

A：当前已经存放了cur个数字的数组

不变逻辑：从1~n中选出不属于A的数组，放入A，cur++，进入下一步。

递归边界：cur==n

2.排序函数和测试主函数

#include 
#include 
#include 
#include 
#include  
using namespace std;
int int_compare(const void* _a,const void* _b);
void Permute1(int n,int* A);// 使用STL里面的库函数
void Permute2(int n, int* P, int* A, int cur);// 从n由小到大的横向分割排列的角度

#define MAX_PERMUTATION_LEN 20
int Permutation()
{
FILE* fp;
int n;
int A[MAX_PERMUTATION_LEN],P[MAX_PERMUTATION_LEN];
        fp = fopen("Permutation.txt","rt");
        if (NULL == fp)
        {
                printf("Can not find input file!");
                return -4;
        }
        while(1){
                if (1 != fscanf(fp,"%d",&n))
                {
                        printf("Can not read in length!");
                        fclose(fp);
                        return -1;
                }       

                if (n>MAX_PERMUTATION_LEN)
                {
                        printf("Too long!");
                        fclose(fp);
                        return -2;
                }
                if (n == 0) // end flag
                {
                        return 0;
                }
                for (int i=0; i


3.测试文件

3
1 1 1
4
1 1 2 2
5
1 2 3 4 5
0

四、总结

1. 一个问题，不是由人，而是交给计算机解决，这就是算法要做的事情。由于计算机的特殊性，必须把人头脑里面的方法用代码的方式告诉计算机。这个代码的最大特点之一就是：必须是具可重复的模式。

2. 解答树：如果一个问题的解可以由多个步骤获得，而每个步骤都有若干选择（这些选择可能依赖于先前的选择），且可以递归枚举实现，这可以用解答树来描述。