利用ST表解决RMQ问题

ST表 – 静态查询区间最值问题

一.与线段树比的优缺点

线段树可以O（n）的时间建树，O（logn）的时间复杂度情况下查询区间最值，但是ST表利用空间换时间，可以在O（nlogn）的时间打表，O（1）的时间复杂度下静态查询区间最值。

当查询次数多且静态查询的情况下，选择ST表来做区间最值查询更合适。

二.ST表的具体实现过程

1.预处理

预处理也是一个利用动态规划打表的过程。
①定状态：a[ i ] : 初始数组；f[ i ][ j ] ：第 i 个数起连续的 2^j 个数中的最大值；
②初始化：f[ i ][ 0 ] = a[ i ]，即第 i 个数起，长度为 2⁰的最大值为a[ i ]本身；
③状态转移方程：因为我们每次能把[i,j]分成两段 – [i, i + 2^j-1-1] 与 [i + 2^j-1,i + 2^j-1]
所以其状态转移方程为f[i][j] = max(f[i][j-1], f[i+(1<<(j-1))][j-1]);

例如：3 5 4 7 6 2 3
f [ 1 ][ 1 ] = max(3,5) = 5;
f[ 1 ][ 2 ] = max(3 5 4 7) = 7;

代码：

//初始化 
void init(int n)
{
     
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		f[i][0] = a[i];
		
	for(int j = 1; (1<<j) <= n; j++)
		for(int i = 1; i + (1<<j) - 1 <= n; i++)
			f[i][j] = max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}

2.查询

假如说查询区间[ l , r ]；
根据max的性质，可以把[l,r]拆分成两个相重叠的区间（例如：查询2 3 4 5 6，就可以分成2 3 4 5和3 4 5 6这两个区间），每次找到覆盖这个闭区间的最小幂（左边界取 l，右边界取 r），区间长度len = r - l + 1，所以k = 2^log（len）(即左右子区间的长度，且log（len）向下取整)

–> query(l,r) = max(f[ l ][ k ], f[ r - 2^k + 1 ][ k ])

代码：

//查询区间l ~ r的最值(目前写的是最大值，最小值改为 min) 
int query(int l,int r)
{
     
	int k = 0;
	while((1<<(k+1)) <= r - l + 1)
		k++;
	return max(f[l][k],f[r - (1<<k) + 1][k]);
}

三.模板

//ST表求RMQ问题 

#include 

using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn = 5e4 + 10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 1e2 + 10;

int n,q,a[maxn],f[maxn][N];		//a[] -- 初始数值     f[][] -- 区间最值 

//初始化 
void init(int n)
{
     
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		f[i][0] = a[i];
		
	for(int j = 1; (1<<j) <= n; j++)
		for(int i = 1; i + (1<<j) - 1 <= n; i++)
			f[i][j] = max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}

//查询区间l ~ r的最值(目前写的是最大值，最小值改为 min) 
int query(int l,int r)
{
     
	int k = 0;
	while((1<<(k+1)) <= r - l + 1)
		k++;
	return max(f[l][k],f[r - (1<<k) + 1][k]);
}

int main()
{
     
	//n个初始值，q次询问区间最值 
	scanf("%d%d",&n,&q);
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%d",&a[i]);
	init(n);
	
	for(int i = 1; i <= q; i++)
	{
     
		int l,r;
		scanf("%d%d",&l,&r);
		
		printf("%d\n",query(l,r));
	}
	return 0;
}

四.模板题

洛谷 P3865 【模板】ST表
其实就相当于模板题，只是因为题目特殊，时间只能到0.9秒，像我这样写的ST表第11个点会超时，所以加上了快读。

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include  
#include 
#include 
#include 
#include 
#include

using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn = 1e5 + 10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int n,m,a[maxn],f[maxn][50];

inline int read()
{
     
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (!isdigit(ch)){
     if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while (isdigit(ch)){
     x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
	return x*f;
}

void init()
{
     
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		f[i][0] = a[i];
		
	for(int j = 1; (1<<j) <= n; j++)
		for(int i = 1; i + (1<<j) - 1 <= n; i++)
			f[i][j] = max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}

int query(int l, int r)
{
     
	int k = 0;
	
	while((1 << (k+1)) <= r - l + 1)
		k++;
	
	return max(f[l][k],f[r-(1<<k)+1][k]);
}

int main()
{
     
	n = read(), m = read();
	
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		a[i] = read();
		
	init();
	
	for(int i = 1; i <= m; i++)
	{
     
		int l,r;
		l = read(), r = read();
		
		printf("%d\n",query(l,r));
	}
	return 0;
}