树状数组

树状数组

树状数组利用二进制，删掉线段树中不需要的点，再把剩下的节点对应到数组中。

一.时间复杂度与树状数组的优劣

树状数组的查询与修改时间复杂度都是O(logn)，且它的常数系数比线段树小，代码量也比线段树少得多。

树状数组能解决的问题，线段树都能解决，但是线段树能解决的问题，树状数组却不一定能解决，其功能比线段树要差一些。

二.树桩数组的实现过程

蓝色代表区间覆盖长度，橙色代表初始数组数值，tree[4] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4]，tree[1] = a[1];

1.取出二进制的最低位

int lowbit(int x)
{
     
	return x & (-x);
}

2.查询区间l ~ r和

int query(int x)
{
     
	int res = 0;
	while(x){
     
		res += tree[x];
		x -= lowbit(x);
	}
	return res;
}

三.模板

1.单点修改 + 区间查询

洛谷 P3374

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6 + 10;
int n,a[maxn],d[maxn];

int lowbit(int x)
{
     
	return x & (-x);
}

void add(int x,int val)
{
     
	while(x <= n){
     
		d[x] += val;
		x += lowbit(x);
	}
}

int query(int x)
{
     
	int res = 0;
	while(x){
     
		res += d[x];
		x -= lowbit(x);
	}
	return res;
}

int main()
{
     
	int q;
	scanf("%d%d",&n,&q);
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
     
		scanf("%d",&a[i]);
		add(i,a[i]);
	}

	for(int i = 1; i <= q; i++)
	{
     
		int k,x,y;
		scanf("%d%d%d",&k,&x,&y);
		if(k == 1){
     
			add(x,y);
		}
		else if(k == 2){
     
			int sum1 = query(x - 1);
			int sum2 = query(y);
			printf("%d\n",sum2 - sum1);
		}
	}
	return 0;
}

2.区间修改 + 单点查询

洛谷 P3368

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6 + 10;
ll n,m,a[maxn],d[maxn];

ll lowbit(ll x)
{
     
	return x & (-x);
}

void add(ll x,ll val)
{
     
	while(x <= n){
     
		d[x] += val;
		x += lowbit(x);
	}
}

ll query(ll x)
{
     
	ll res = 0;
	while(x){
     
		res += d[x];
		x -= lowbit(x);
	}
	return res;
}

int main()
{
     
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
     
		scanf("%lld",&a[i]);
		add(i,a[i] - a[i-1]);
	}

	for(int i = 1; i <= m; i++)
	{
     
		int flag;
		scanf("%d",&flag);
		if(flag == 1)
		{
     
			ll x,y,k;
			scanf("%lld %lld %lld",&x,&y,&k);
			add(x,k);
			add(y+1,-k);
		}
		else{
     
			ll x;
			scanf("%lld",&x);
			printf("%lld\n",query(x));
		}
	}
	return 0;
}

3.区间修改 + 区间查询

维护两个树状数组
poj - 3468 A Simple Problem with Integers

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6 + 10;
ll n,q,a[maxn],sum1[maxn],sum2[maxn];

ll lowbit(ll x)
{
     
	return x & (-x);
}

void add(ll x,ll val)
{
     
	ll j = x;
	while(x <= n){
     
		sum1[x] += val;
		sum2[x] += val * (j - 1);
		x += lowbit(x);
	}
}

ll query(ll x)
{
     
	ll res = 0, j = x;
	while(x){
     
		res += j * sum1[x] - sum2[x];
		x -= lowbit(x);
	}
	return res;
}

int main()
{
     
	cin>>n>>q;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
     
		cin>>a[i];
		add(i,a[i] - a[i-1]);
	}

	for(int i = 1; i <= q; i++)
	{
     
		char flag;
		scanf(" %c",&flag);
		if(flag == 'C')
		{
     
			ll l,r,k;
			cin>>l>>r>>k;
			
			add(l,k);
			add(r+1,-k);
				//差分的思想，x 位置上 +k，y+1的位置上-k 
		}
		else if(flag == 'Q'){
     
			ll l,r;
			cin>>l>>r;
			ll sum = query(r) - query(l-1);
			cout<<sum<<endl;
		}
	}
	return 0;
}