hdu5730 Shell('s) Necklace

题意

有$n$种链子，第$i$种链子长度为$i$，有$a_i$条，求用这些链子组合出长度为n的链子的方案数。

题解

开始居然没看出来这是一道dp题
令$f_i$为凑出长度为$i$的链子的方案数
则有;
$$f_i=\sum _{j=0}^{i-1}{f}_j\ast a_{i-j},f_0=1$$
时间复杂度为$O(n^2)$，显然要T。
考虑优化。发现右半部分与卷积（$a\ast b={\sum }_{i=1}^n{a}_i\ast b_{i-j}$）类似。所以考虑使用FFT
然而如果说每次转移暴力FFT，则时间复杂度瞬间飙至$O(n^{2}lo{g}_{2}n)$，不如不优化。
于是我们介绍一个新科技：CDQ分治。
下面介绍一下它的基本步骤：

对$cdq(l,r)$
1、求解$cdq(l,mid),mid=\lfloor \frac{l+r}{2}\rfloor$
2、计算$[l,mid]$对$[mid+1,r]$的贡献(对$[mid+1,r]$答案的影响)
3、求解$cdq(mid+1,r)$

继续yy优化。我们用$cdq(l,r)$表示求解$f_l,f_{l+1},f_{l+2}...f_r$
假设求出$cdq(l,mid)$，令$g_i$为$[l,mid]$对f[i]的贡献,$h_{i,l}={\sum }_{j=0}^{l-1}{f}_j\ast a_{i-j}$
由定义:
$$\begin{array}{rl}{f}_i& =\sum _{j=0}^{i-1}{f}_j\ast a_{i-j}\\ & =\sum _{j=0}^{l-1}{f}_j\ast a_{i-j}+\sum _{j=mid+1}^{i-1}{f}_j\ast a_{i-j}+g_i\\ & =h_{i,l}+\sum _{j=mid+1}^{i-1}{f}_j\ast a_{i-j}+\sum _{j=l}^{mid}{f}_j\ast a_{i-j}\end{array}$$
由$cdq(l,r)$的过程可知，$h_{i,l}$已知，${\sum }_{j=mid+1}^{i-1}{f}_j\ast a_{i-j}$将会在$cdq(mid+1,r)$中计算出，所以只需求$\{f_l,f_{l+1},...,f_{mid}\}\ast \{a_1,a_2,...,a_{r-l+1}\}$即可。
$cdq(l,r)$的过程时间复杂度为$O(lo{g}_{2}n)$，FFT的时间复杂度为$O(nlo{g}_{2}n)$，故总时间复杂度为$O(nlo{g}_2^{2}n)$

代码

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int mn = 100005, mod = 313;
const double pi = acos(-1.0);
struct com{
    double r, i;
    com(double a = 0, double b = 0) : r(a), i(b) {}
    com operator +(const com& t) {return com(r + t.r, i + t.i);}
    com operator -(const com& t) {return com(r - t.r, i - t.i);}
    com operator *(const com& t) {return com(r * t.r - i * t.i, r * t.i + i * t.r);}
}x[mn << 1], y[mn << 1], w, wn;
int a[mn], f[mn];
void change(com *x, int n)
{
    for(int i = 1, j = n >> 1; i < n - 1; i++)
    {
        if(i < j)
            swap(x[i], x[j]);
        int k = n >> 1;
        while(j >= k)
            j -= k, k >>= 1;
        j += k;
    }
}
void fft(com x[], int n, int flag)
{
    change(x, n);
    for(int i = 2; i <= n; i <<= 1)
    {
        wn = com(cos(flag * 2 * pi / i), sin(flag * 2 * pi / i));
        for(int j = 0; j < n; j += i)
        {
            w = com(1, 0);
            for(int k = j; k < j + i / 2; k++)
            {
                com u = w * x[k + i / 2], v = x[k];
                x[k] = v + u, x[k + i / 2] = v - u, w = w * wn;
            }
        }
    }
    if(flag == -1)
        for(int i = 0; i < n; i++)
            x[i].r /= n;
}
void cdq(int l, int r)
{
    if(l == r)
    {
        f[l] += a[l], f[l] %= mod;
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1, i;
    cdq(l, mid);
    int len = 1;
    while(len <= r - l + 1)
        len <<= 1;
    for(i = 0; i < len; i++)
        x[i] = y[i] = com(0, 0);
    for(i = l; i <= mid; i++)
        x[i - l] = com(f[i], 0);
    for(i = 1; i <= r - l + 1; i++)
        y[i - 1] = com(a[i], 0);
    fft(x, len, 1), fft(y, len, 1);
    for(i = 0; i < len; i++)
        x[i] = x[i] * y[i];
    fft(x, len, -1);
    for(i = mid + 1; i <= r; i++)
        f[i] += int(x[i - l - 1].r + 0.5), f[i] %= mod;
    cdq(mid + 1, r);
}
int main()
{
    int n, i;
    while(~scanf("%d", &n) && n)
    {
        for(i = 1; i <= n; i++)
            scanf("%d", &a[i]), a[i] %= mod, f[i] = 0;
        cdq(0, n);
        printf("%d\n", f[n]);
    }
}