浅谈扩展欧几里得算法

以前写的= = 现在发的原因是 懒得写博客= =

$ax+by=\gcd (a,b)$

求满足等式的整数解$x,y$

假设$a>b$

假设有一组合法解为$x_1,y_1$，则有$a{x}_1+b{y}_1=gcd(a,b)$

由欧几里得算法（$\gcd (a,b)=\gcd (b,a\%b)$）得

$$ax+by=\gcd (a,b)=\gcd (b,a\%b)=b{x}_1+(a\%b)y_1$$

因为$a\%b=a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \ast b$

所以原式可以转化为：

$ax+by=b{x}_1+(a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \ast b)y_1$

$ax+by=b{x}_1+a{y}_1-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor b{y}_1$

$ax+by=a{y}_1+b(x_1-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y_1)$

由此得

$x=y_1,y=x_1-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y_1$

这样就能得到一组合法解

当$b=0$时 , $\gcd (a,b)=a$,
此时有唯一的解 : $ x = 1,y = 0$

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
     
	if (b == 0) {
      x = 1, y = 0; return a; }
	int x1, y1, d = exgcd(b, a % b, x1, y1);
	x = y1, y = x1 - a / b * y1;
	return d;
}