双连通域分解算法

算法介绍

• 学习记录
• 关节点
  • 图G删除顶点v后包含的连通域增多，则称v是关节点
• 双连通图
  • 不包含关节点的图，任何一个无向图都可以视作由若干个极大的双连通子图组成

算法实现

• 可以利用深度优先算法实现，在DFS搜索过程中记录和更新u所能联通的最高祖先(经后向边), hca(u) < dTime(v) 则说明u可以联通v的真祖先，v不是关节点;否则v是关节点

算法源码

  // 基于DFS的双连通分量分解算法
    void bcc(int s) {
        // 重置图
        reset();

        // 时间标记
        int clock = 0;
        int v = s;

        // 栈记录已访问节点
        Stack S;

        // 栈存储关节点
        Stack cut_vertex;

        // 遍历各个节点
        do {
            // 没有访问过的顶点执行BCC函数
            if (status(v) == UNDISCOVERED) {
                BCC(v, clock, S, cut_vertex);

                // 清空栈S, 进入下一次循环
                while (!S.empty()) {
                    S.pop();
                }
            }

            // 切换到下一个顶点
            v = ++v % n;

        } while (s != v);
    }


    // 基于DFS的双连通分量分解算法
    void BCC(int v, int &clock, Stack &S, Stack &cut_vertex) {
        // 当前顶点状态调整
        status(v) = DISCOVERED;

        // 时间标记 hca(v)标记的顶点v可以触达的最早的祖先的dTime  dTime(v)访问时间
        hca(v) = dTime(v) = ++clock;

        // 顶点入栈
        S.push(v);

        //遍历各个邻接顶点
        for (int u = firstNbr(v); u > -1; u = nextNbr(v, u)) {
            switch (status(u)) {
                // 未发现
                case UNDISCOVERED:
                    // 更新遍历树
                    parent(u) = v;
                    type(v, u) = TREE;

                    // 递归执行BCC
                    BCC(u, clock, S, cut_vertex);

                    // u可以触达v的祖先,非关节点,此时v也可以通过后向边触达这个祖先
                    if (hca(u) < dTime(v)) {
                        hca(v) = min(hca(u), hca(v));
                    } else {
                        // 此时v是关节点, u一下就是一个双连通域
                        cut_vertex.push(v);

                        // TODO 存储双连通域
                        while(v = S.pop());

                        // 关节点重新入栈,分摊不足一次
                        S.push(v);
                    }

                    break;
                case DISCOVERED:
                    // 后向边
                    type(v, u) = BACKWARD;

                    // 更新v节点可以触达的最早的祖先的dTime(u)
                    if (u != parent(v)) {
                        hca(v) = min(hca(v), dTime(u));
                    }
                    break;
                case VISITED: // 有向边专属
                    type(v, u) = dTime(v) < dTime(u) ? FORWARD : CROSS;
                    break;
            }
        }

        // 更新当前顶点的状态
        status(v) = VISITED;

    }