【AGC006C】Rabbit Exercise

题目描述

　　有 n 只兔子站在数轴上。为了方便，将这些兔子标号为 1…n 。第 i 只兔子的初始位置为 ai 。

　　现在这些兔子会按照下面的规则做若干套体操。每一套体操由 m 次跳跃组成；在第 j 次跳跃的时候，第 cj(2≤cj≤n−1) 只兔子会等概率随机选择第 cj−1 或 cj+1 只兔子中的一只（不妨设选择了第 x 只兔子），然后跳当前位置到关于第 x 只兔子对称的点。

　　这些兔子会按顺序做 k 套相同的体操。现在请你求出，每一只兔子做完 k 套体操之后最终位置坐标的期望值。

　　 n,m≤100000,k≤1018

题解

　　每次操作 ax=12(2ax−1−ax)+12(2ax+1−ax)=ax−1+ax+1−ax

　　可以发现这是一个线性变换，可以直接计算。

　　那么有什么规律吗？

　　假设有三个数 a1,a2,a3 ， c1=2 。

　　变换后会得到 a1,a1+a3−a2,a3 。

　　我们差分一下：

a1,a2,a3a1,a1+a3−a2,a3→a1,a2−a1,a3−a2→a1,a3−a2,a2−a1

　　相当于把 ac1,ac1+1 交换了一下。

　　所以可以直接把 m 次操作看成 m 个交换，做完这些操作看成 1 到 n 的置换。把整个置换拆成很多个轮换，直接在每个轮换上面走 k 步就行了。

　　时间复杂度： O(n+m)

代码

#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
ll a[100010];
int c[100010];
int b[100010];
int d[100010];
ll ans[100010];
int main()
{
#ifdef DEBUG
    freopen("b.in","r",stdin);
    freopen("b.out","w",stdout);
#endif
    int n;
    scanf("%d",&n);
    int i;
    ll sum=0;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld",&a[i]);
        a[i]-=sum;
        sum+=a[i];
        c[i]=i;
    }
    int m;
    ll k;
    scanf("%d%lld",&m,&k);
    int x;
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d",&x);
        swap(c[x],c[x+1]);
    }
    for(i=1;i<=n;i++)
        if(!b[i])
        {
            int cnt=0;
            int j;
            for(j=i;!b[j];j=c[j])
            {
                b[j]=1;
                d[++cnt]=j;
            }
            for(j=1;j<=cnt;j++)
                ans[d[j]]=a[d[(j+k-1)%cnt+1]];
        }
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        ans[i]+=ans[i-1];
        printf("%lld.0\n",ans[i]);
    }
    return 0;
}