洛谷 P-3626（实数下线性基 or 高斯消元）

https://www.luogu.org/problemnew/show/P3265

题意：

有n个m项的向量，每个向量还有个花费，问最少多少花费能组合出最多的向量

思路：

高斯消元

这道题，一眼就可以知道高斯消元可写，我们把每个向量的每一项合在一起写成一个矩阵
$$\left[\begin{array}{ccccc}{a}_1.v_1& a_1.v_2& a_1.v_3& ...& a_1.v_m\\ a_2.a_1& a_2.v_2& a_2.v_3& ...& a_2.v_m\\ a_3.a_1& a_3.v_2& a_3.v_3& ...& a_3.v_m\\ ...& & & & \\ a_n.v_1& a_n.v_2& a_n.v_3& ...& a_n.v_m\end{array}\right]$$
我们可以求出这个矩阵的秩
$$\left[\begin{array}{ccccc}{a}_1.v_1& a_1.v_2& a_1.v_3& ...& a_1.v_m\\ 0& a_2.v_2& a_2.v_3& ...& a_2.v_m\\ 0& 0& a_3.v_3& ...& a_3.v_m\\ ...& & & & \\ 0& 0& 0& ...& a_n.v_m\end{array}\right]$$
这样我们就可以得到一组秩，就是每一行第一个不为0的数
因为通过消元的过程可以得知可以操作前几项来使得下面的全部为0

线性基

线性基就是模拟了一下高斯消元的过程，用$lb$数组来代表基

#include

using namespace std;

#define LL long long
const int maxn = 505;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int Mod = 1e9 + 7;
const double eps = 1e-5;
typedef pair<int, int> psi;

struct DX{
    double value[maxn];
    int w;

    bool operator < (const DX a) const{
        return w < a.w;
    }

}x[maxn];

int lb[maxn];

int main(int argc, char *args[]) {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) 
        for (int j = 1; j <= m; j ++) 
            cin >> x[i].value[j];
    for (int i = 1; i <= n; i ++) 
        cin >> x[i].w;
    sort(x + 1, x + 1 + n);
    int cnt = 0, sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        for (int j = 1; j <= m; j ++) {
            if(fabs(x[i].value[j]) > eps) {
                if(!lb[j]) {
                    lb[j] = i;
                    break;
                }else {
                    double t = x[i].value[j] / x[lb[j]].value[j];
                    for (int k = j; k <= m; k ++) 
                        x[i].value[k] -= x[lb[j]].value[k] * t;
                }
            }
        }
    }
    cout << cnt << " " << sum << endl;
    return 0;
}