匈牙利算法(最小路径点覆盖) - 捉迷藏 - AcWing 379

匈牙利算法(最小路径点覆盖) - 捉迷藏 - AcWing 379

Vani和cl2在一片树林里捉迷藏。

这片树林里有N座房子,M条有向道路,组成了一张有向无环图。

树林里的树非常茂密,足以遮挡视线,但是沿着道路望去,却是视野开阔。

如果从房子A沿着路走下去能够到达B,那么在A和B里的人是能够相互望见的。

现在cl2要在这N座房子里选择K座作为藏身点,同时Vani也专挑cl2作为藏身点的房子进去寻找,为了避免被Vani看见,cl2要求这K个藏身点的任意两个之间都没有路径相连。

为了让Vani更难找到自己,cl2想知道最多能选出多少个藏身点。

输入格式

输入数据的第一行是两个整数N和M。

接下来M行,每行两个整数 x,y,表示一条从 x 到 y 的有向道路。

输出格式

输出一个整数,表示最多能选取的藏身点个数。

数据范围

N ≤ 200 , M ≤ 30000 N≤200,M≤30000 N200,M30000

输入样例:

7 5
1 2
3 2
2 4
4 5
4 6

输出样例:

3

分析:

最小路径覆盖: 针 对 一 个 有 向 无 环 图 , 用 最 少 条 互 不 相 交 路 径 , 覆 盖 所 有 点 。 ( 其 中 互 不 相 交 是 指 点 不 重 复 ) 针对一个有向无环图,用最少条互不相交路径,覆盖所有点。(其中互不相交是指点不重复) ()

结论: 最 小 路 径 点 覆 盖 ( 最 小 路 径 覆 盖 ) = 总 点 数 − 最 大 匹 配 数 最小路径点覆盖(最小路径覆盖)=总点数 - 最大匹配数 ()=

最小路径重复点覆盖: 在 最 小 路 径 覆 盖 问 题 的 基 础 上 , 去 掉 互 不 相 交 。 在最小路径覆盖问题的基础上,去掉互不相交。

结论: 记 原 图 G , 求 传 递 闭 包 后 的 图 G ’ , 则 G 的 最 小 路 径 重 复 点 覆 盖 = G ’ 的 最 小 路 径 覆 盖 记原图G,求传递闭包后的图G’,则G的最小路径重复点覆盖=G’的最小路径覆盖 GGG=G

本 题 先 做 一 遍 传 递 闭 包 , 接 着 在 新 图 中 做 最 小 路 径 覆 盖 , 即 跑 匈 牙 利 算 法 求 最 大 匹 配 数 r e s 。 本题先做一遍传递闭包,接着在新图中做最小路径覆盖,即跑匈牙利算法求最大匹配数res。 res

输 出 答 案 a n s = n − r e s . 输出答案ans=n-res. ans=nres.

代码:

#include
#include
#include

using namespace std;

const int N=210;

int n,m;
bool d[N][N],st[N];
int match[N];

bool Find(int x)
{
     
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(d[x][i] && !st[i])
        {
     
            st[i]=true;
            int t=match[i];
            if(t==0 || Find(t))
            {
     
                match[i]=x;
                return true;
            }
        }
    return false;
}

int main()
{
     
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
     
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        d[a][b]=true;
    }
    
    for(int k=1;k<=n;k++)
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                d[i][j] |= d[i][k] & d[k][j];
    
    int res=0; 
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
     
        memset(st,false,sizeof st);
        if(Find(i)) res++;
    }
    
    cout<<n-res<<endl;
    
    return 0;
}

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