Atcoder Grand Contest 028 简要题解

Two Abbreviations

答案要么是 $-1$ 要么是 $lcm(n,m)$ 。

#include 

using namespace std;

int main() {
#ifdef wxh010910
  freopen("input.txt", "r", stdin);
#endif
  int n, m;
  string s, t;
  cin >> n >> m >> s >> t;
  int gcd = __gcd(n, m);
  for (int i = 0, j = 0; i < n && j < m; i += n / gcd, j += m / gcd) {
    if (s[i] != t[j]) {
      cout << -1 << endl;
      return 0;
    }
  }
  cout << (long long)n * m / gcd << endl;
  return 0;
}

Removing Blocks

考虑 $i$ 在删除 $j(i\le j)$ 时产生贡献的概率，就是 $j$ 在 $i,i+1,\cdots j$ 中最早被删除的概率，即 $\frac{1}{j-i+1}$ 。当 $i$ 移动的时候，系数改变是 $O(1)$ 的。

#include 

using namespace std;

const int md = 1e9 + 7;

int add(int x, int y) {
  x += y;
  if (x >= md) {
    x -= md;
  }
  return x;
}

int sub(int x, int y) {
  x -= y;
  if (x < 0) {
    x += md;
  }
  return x;
}

int mul(int x, int y) {
  return (long long)x * y % md;
}

int main() {
#ifdef wxh010910
  freopen("input.txt", "r", stdin);
#endif
  int n;
  cin >> n;
  vector<int> a(n);
  for (int i = 0; i < n; ++i) {
    cin >> a[i];
  }
  vector<int> inv(n + 1);
  inv[0] = inv[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    inv[i] = mul(md - md / i, inv[md % i]);
  }
  int coef = 0;
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    coef = add(coef, inv[i]);
  }
  int answer = 0;
  for (int i = 0; i < n; ++i) {
    answer = add(answer, mul(coef, a[i]));
    if (i + 1 < n) {
      coef = add(coef, inv[i + 2]);
      coef = sub(coef, inv[n - i]);
    }
  }
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    answer = mul(answer, i);
  }
  cout << answer << endl;
  return 0;
}

Min Cost Cycle

首先 $\min (a_x,b_y)$ 可以认为是 $a_x+b_y$ 再减去任意一个。那么我们相当于要选出 $n$ 个位置，在合法的同时使得它们的和最大。

将每个位置是否被选用 $01$ 串表示，假设有 $x$ 个 $01$ ， $y$ 个 $10$ ，$z$ 个 $00$ 和 $z$ 个 $11$ （显然 $00$ 和 $11$ 的个数是相同的），那么我们的要求是：

• $01$ 和 $11$ 后面必须接 $01$ 或者 $00$
• $10$ 和 $11$ 前面必须接 $10$ 或者 $00$

如果 $z=0$ ，那么要么 $x=n$ ，要么 $y=n$ 。

否则一定有解，先将 $z$ 个 $11$ 和 $z-1$ 个 $00$ 像这样合并成一个 $11$ ： $11-00-11-00-11$。

然后在 $11$ 前面接上所有的 $10$ ，后面接上所有的 $01$ ，最后用剩下的 $00$ 把它们串起来。

也就是说，特判掉 $z=0$ 的情况，我们一定删的数里面一定有两个数属于同一个位置，这个贪心就可以了。

#include 

using namespace std;

int main() {
#ifdef wxh010910
  freopen("input.txt", "r", stdin);
#endif
  int n;
  cin >> n;
  vector<int> a(n), b(n);
  long long answer = 0, sum_a = 0, sum_b = 0;
  vector<pair<int, int>> all(n << 1);
  for (int i = 0; i < n; ++i) {
    cin >> a[i] >> b[i];
    answer += a[i] + b[i];
    sum_a += a[i];
    sum_b += b[i];
    all[i << 1] = make_pair(a[i], i);
    all[i << 1 | 1] = make_pair(b[i], i);
  }
  long long result = max(sum_a, sum_b);
  sort(all.begin(), all.end(), greater<pair<int, int>> ());
  vector<bool> visit(n);
  bool already = false;
  long long sum = 0;
  for (int i = 0; i < n; ++i) {
    if (visit[all[i].second]) {
      already = true;
    }
    sum += all[i].first;
    visit[all[i].second] = true;
  }
  if (already) {
    result = max(result, sum);
  } else {
    for (int i = n; i < n << 1; ++i) {
      if (all[n - 1].second == all[i].second) {
        result = max(result, sum + all[i].first - all[n - 2].first);
      } else {
        result = max(result, sum + all[i].first - all[n - 1].first);
      }
    }
  }
  cout << answer - result << endl;
  return 0;
}

Chords

记 $f(l,r)$ 表示只在区间 $[l,r]$ 内部连，$l$ 和 $r$ 是连通的概率，容斥即可。

#include 

using namespace std;

const int md = 1e9 + 7;

int add(int x, int y) {
  x += y;
  if (x >= md) {
    x -= md;
  }
  return x;
}

int sub(int x, int y) {
  x -= y;
  if (x < 0) {
    x += md;
  }
  return x;
}

int mul(int x, int y) {
  return (long long)x * y % md;
}

int main() {
#ifdef wxh010910
  freopen("input.txt", "r", stdin);
#endif
  int n, m;
  cin >> n >> m;
  vector<int> a(m), b(m);
  for (int i = 0; i < m; ++i) {
    cin >> a[i] >> b[i];
    --a[i];
    --b[i];
  }
  vector<int> ways(n + 1);
  ways[0] = 1;
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    ways[i] = mul(ways[i - 1], (i << 1) - 1);
  }
  vector<vector<int>> f(n << 1, vector<int> (n << 1));
  vector<vector<int>> g(n << 1, vector<int> (n << 1));
  int answer = 0;
  for (int l = (n << 1) - 1; ~l; --l) {
    for (int r = l + 1; r < n << 1; r += 2) {
      bool flag = true;
      int inside = 0;
      for (int i = 0; i < m; ++i) {
        int type = (a[i] >= l && a[i] <= r) + (b[i] >= l && b[i] <= r);
        if (type == 1) {
          flag = false;
          break;
        }
        if (type) {
          ++inside;
        }
      }
      if (flag) {
        inside = (r - l + 1 >> 1) - inside;
        int outside = n - m - inside;
        f[l][r] = g[l][r] = ways[inside];
        for (int i = l + 1; i < r - 1; i += 2) {
          f[l][r] = sub(f[l][r], mul(f[l][i], g[i + 1][r]));
        }
        answer = add(answer, mul(f[l][r], ways[outside]));
      }
    }
  }
  cout << answer << endl;
  return 0;
}

High Elements

直接的想法是按位确定，那么需要判断一个状态是否合法。对于前缀的一个状态，需要记录当前两个序列的最大值 $ma{x}_0,ma{x}_1$ 和前缀最大值个数 $cn{t}_0,cn{t}_1$ 。对于剩下的数，我们需要安排两个序列 $a_1,a_2,\cdots ,a_x$ 和 $b_1,b_2,\cdots ,b_y$ ，使得：

• $ma{x}_0<a_1<a_2<\cdots <a_x$
• $ma{x}_1<b_1<b_2<\cdots <b_y$
• $x+ma{x}_0=y+ma{x}_1$
• 剩下的数里面，所有在原序列中的前缀最大值一定在序列 $a$ 或者 $b$ 里面。

事实上这些条件是充要的，因为所有不是原序列前缀最大值的数，可以放在前缀最大值所在的序列后面，不产生贡献。

那么，我们可以将 $a$ 和 $b$ 其中一个调整成全是原序列的前缀最大值。假设 $a$ 全是原序列的前缀最大值，那么我们只需要确定 $b$ ，然后把剩下的没有分配的原序列前缀最大值安排到 $a$ 上面就行了。

假设剩下的数里面原序列前缀最大值个数为 $q$ ，有 $k$ 个被放到 $b$ 里面了，那么有：

$cn{t}_0+q-k=cn{t}_1+y$

假设 $b$ 里面有 $m$ 个不是原来的前缀最大值的数，那么移项变成：

$2k+m=cn{t}_0-cn{t}_1+q$

注意到右边是定值，所以这个问题变成了找一个上升子序列，每个位置权值是 $1$ 或者 $2$ ，要凑出某个权值。

显然如果 $c$ 能凑出来，那么 $c-2$ 也能凑出来，所以分奇偶倒着维护一个类似最长上升子序列的DP就行了。

#include 

using namespace std;

const int inf = 0x3f3f3f3f;

int main() {
#ifdef wxh010910
  freopen("input.txt", "r", stdin);
#endif
  int n;
  cin >> n;
  vector<int> a(n);
  vector<bool> b(n);
  int prefix = -1, q = 0;
  for (int i = 0; i < n; ++i) {
    cin >> a[i];
    --a[i];
    if (a[i] > prefix) {
      prefix = a[i];
      b[i] = true;
      ++q;
    }
  }
  
  vector<int> fenw_even(n, 0), fenw_odd(n, -inf);
  stack<pair<int*, int>> memory;

  auto modify = [&](vector<int> &fenw, int x, int value) {
    while (x < n) {
      if (fenw[x] < value) {
        memory.emplace(&fenw[x], fenw[x]);
        fenw[x] = value;
      }
      x |= x + 1;
    }
  };

  auto query = [&](vector<int> &fenw, int x) {
    int result = -inf;
    while (x >= 0) {
      result = max(result, fenw[x]);
      x = (x & x + 1) - 1;
    }
    return result;
  };

  vector<int> size(n);
  for (int i = n - 1; ~i; --i) {
    int even = -inf, odd = -inf;
    size[i] = memory.size();
    if (b[i]) {
      even = query(fenw_even, n - a[i] - 1) + 2;
      odd = query(fenw_odd, n - a[i] - 1) + 2;
    } else {
      even = query(fenw_odd, n - a[i] - 1) + 1;
      odd = query(fenw_even, n - a[i] - 1) + 1;
    }
    if (even >= 0) {
      modify(fenw_even, n - a[i] - 1, even);
    }
    if (odd >= 0) {
      modify(fenw_odd, n - a[i] - 1, odd);
    }
  }

  auto check = [&](int x, int need) {
    if (need < 0) {
      return false;
    }
    if (need & 1) {
      return query(fenw_odd, n - x - 1) >= need;
    } else {
      return query(fenw_even, n - x - 1) >= need;
    }
  };

  auto valid = [&](int max0, int max1, int diff, int q) {
    return check(max0, q - diff) || check(max1, q + diff);
  };

  int max0 = 0, max1 = 0;
  if (!check(0, q)) {
    puts("-1");
    return 0;
  }
  int diff = 0;
  for (int i = 0; i < n; ++i) {
    if (b[i]) {
      --q;
    }
    while (memory.size() > size[i]) {
      *memory.top().first = memory.top().second;
      memory.pop();
    }
    if (max0 <= a[i]) {
      if (valid(a[i], max1, diff + 1, q)) {
        cout << 0;
        max0 = a[i];
        ++diff;
      } else {
        cout << 1;
        if (max1 <= a[i]) {
          max1 = a[i];
          --diff;
        }
      }
    } else {
      if (valid(max0, max1, diff, q)) {
        cout << 0;
      } else {
        cout << 1;
        if (max1 <= a[i]) {
          max1 = a[i];
          --diff;
        }
      }
    }
  }
  cout << endl;

  return 0;
}

Reachable Cells

假设 $n\ge m$ ，考虑分治，那么只需要算从一个上面的点到下面的点的贡献。

将上方第 $i$ 行第 $j$ 列的数记为 $U(i,j)$ ，下方的记为 $D(i,j)$ ，假设上方有 $H_U$ 行，下方有 $H_D$ 行。为了方便这里不考虑带权。

定义：

• $MeetingPoint(a,b)$ 表示 $D(1,a)$ 和 $D(1,b)$ 最早在哪行能够同时到达($a\le b$)。
• $BothReachable(a,b,l)$ 表示 $D(1,a)$ 和 $D(1,b)$ 在前 $l$ 行同时能到达的点数($a\le b$)。
• $Left(i,j)$ 表示最小的 $x$ 使得 $D(1,x)$ 可以到 $D(i,j)$ 。
• $Right(i,j)$ 表示最大的 $x$ 使得 $D(1,x)$ 可以到 $D(i,j)$ 。
• $Top(j)$ 表示最小的 $y$ 使得 $U(y,x)$ 可以到 $D(1,j)$ 。
• $Bottom(j)$ 表示最大的 $y$ 使得 $D(1,j)$ 可以到 $D(y,x)$ 。

考虑实现 $MeetingPoint$ 这个函数，那么显然有 $Left(i,j)\le a\le b\le Right(i,j)$ ，找到满足这个的使得 $i$ 最小的点 $(p,q)$ ，分为两种情况：

• $p\le \min (Bottom(a),Bottom(b))$ 时，返回 $p$ 。考虑 $Left(i,j),Right(i,j),Bottom(a),Bottom(b)$ 构成的路径，易证。
• $p>\min (Bottom(a),Bottom(b))$ 时，返回 $\infty$ 。显然。

可以通过预处理 $O(1)$ 查询 $MeetingPoint$ 。

再考虑实现 $BothReachable$ 这个函数，对于 $MettingPoint(a,b)>l$ 的情况，直接返回 $0$ 。

其他情况，相当于数 $Left(y,x)\le a\le b\le Right(y,x),y\le l$ 的 $(y,x)$ 的个数。

如果没有 $y\le l$ 这个条件，可以容斥，算：

• 加上 $Left(y,x)\le Right(y,x)$ 的个数
• 减去 $Left(y,x)>a$ 的个数
• 减去 $Right(y,x)<b$ 的个数
• 加上 $a<Left(y,x)\le Right(y,x)<b$ 的个数

前三个显然加上 $y\le l$ 这个条件也是可以完成的，对于第四个，我们注意到这些东西的 $y$ 一定比 $MettingPoint(a,b)$ 小，所以可以直接忽视 $y\le l$ 的条件。

在上述函数的基础上，可以定义 $Reachable(a)$ 表示 $D(1,a)$ 能到达的位置个数。

枚举 $y$ ，定义 $L(x)$ 表示 $U(y,x)$ 能到达 $U(H_u,j)$ 最小的 $j$ ， $R(x)$ 表示最大的 $j$ 。那么 $L(x),R(x)$ 都是单调不降的。问题变成：维护一个集合，支持插入 $D(1,j)$ ，删除 $D(1,j)$ ，询问当前集合内能到达的点个数。保证插入的 $j$ 是当前最大值，删除的 $j$ 是当前最小值。

定义 $ha{s}_j$ 表示 $D(1,j)$ 能到达的，并且集合中大于 $j$ 的任何位置都不能到达的位置个数。注意到删除操作是不会改变 $ha{s}_j$ 的，所以只考虑插入操作。对于 $D(1,j^{\prime })\in S$ ，如果存在 $D(1,j^{\prime \prime })\in S(j^{\prime \prime }>j^{\prime })$ 并且 $Bottom(j^{\prime })\le Bottom(j^{\prime \prime })$ ，则 $ha{s}_j$ 不会改变。这是因为如果 $j$ 和 $j^{\prime }$ 都能到，那么显然 $j^{\prime \prime }$ 也能到。所以，会改变的是一个关于 $Bottom$ 的单调栈：假设是 $J_1,J_2,\cdots ,J_k$ 。$ha{s}_{J_k}$ 会减去 $BothReachable(J_k,j,\min (Bottom(J_k),Bottom(j)))$ 。而对于 $p<k$ ， $ha{s}_{J_p}$ 会减去 $D(1,j)$ 和 $D(1,J_p)$ 都能到，但 $D(1,J_q)(q>p)$ 不能到的格子个数。这个值是 $BothReachable(J_p,j,\min (Bottom(J_p),Bottom(j)))-BothReachable(J_p,j,\min (Bottom(J_{p+1},j)))$

。注意到当 $Bottom(J_p)>Bottom(j)$ 时，$ha{s}_q(q<p)$ 不变，所以可以直接用单调栈来更新。

#include 

using namespace std;

const int inf = 0x3f3f3f3f;

void cmax(int &x, int y) {
  if (x < y) {
    x = y;
  }
}

void cmin(int &x, int y) {
  if (x > y) {
    x = y;
  }
}

int main() {
#ifdef wxh010910
  freopen("input.txt", "r", stdin);
#endif
  int n;
  cin >> n;
  vector<string> board(n);
  for (int i = 0; i < n; ++i) {
    cin >> board[i];
  }
  long long answer = 0;

  function<void(vector<string>)> solve = [&](vector<string> board) {
    int n = board.size(), m = board[0].size();
    
    if (n < m) {
      vector<string> rotated(m, string(n, ' '));
      for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = 0; j < m; ++j) {
          rotated[j][i] = board[i][j];
        }
      }
      swap(n, m);
      board = rotated;
    }
    
    if (m == 1) {
      int sum = 0;
      for (int i = 0; i < n; ++i) {
        if (board[i][0] == '#') {
          sum = 0;
        } else {
          answer += (board[i][0] - '0') * sum;
          sum += board[i][0] - '0';
        }
      }
      return;
    }

    vector<string> u = vector<string> (board.begin(), board.begin() + (n >> 1));
    vector<string> d = vector<string> (board.begin() + (n >> 1), board.end());
    solve(u);
    solve(d);
    u.push_back(d[0]);

    int nu = n >> 1, nd = n + 1 >> 1;
    vector<vector<int>> left(nd, vector<int> (m, inf));
    vector<vector<int>> right(nd, vector<int> (m, -inf));
    vector<int> top(m);
    vector<int> bottom(m);
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
      if (d[0][i] != '#') {
        left[0][i] = right[0][i] = i;
      }
    }
    for (int i = 0; i < nd; ++i) {
      for (int j = 0; j < m; ++j) {
        if (d[i][j] != '#') {
          if (i) {
            cmin(left[i][j], left[i - 1][j]);
            cmax(right[i][j], right[i - 1][j]);
          }
          if (j) {
            cmin(left[i][j], left[i][j - 1]);
            cmax(right[i][j], right[i][j - 1]);
          }
        }
      }
    }

    {
      vector<vector<int>> temp(nd, vector<int> (m, -inf));
      for (int i = nd - 1; ~i; --i) {
        for (int j = m - 1; ~j; --j) {
          if (d[i][j] != '#') {
            temp[i][j] = i;
            if (i + 1 < nd) {
              cmax(temp[i][j], temp[i + 1][j]);
            }
            if (j + 1 < m) {
              cmax(temp[i][j], temp[i][j + 1]);
            }
          }
        }
      }
      for (int i = 0; i < m; ++i) {
        bottom[i] = temp[0][i];
      }
    }

    {
      vector<vector<int>> temp(nu + 1, vector<int> (m, inf));
      for (int i = 0; i <= nu; ++i) {
        for (int j = 0; j < m; ++j) {
          if (u[i][j] != '#') {
            temp[i][j] = i;
            if (i) {
              cmin(temp[i][j], temp[i - 1][j]);
            }
            if (j) {
              cmin(temp[i][j], temp[i][j - 1]);
            }
          }
        }
      }
      for (int i = 0; i < m; ++i) {
        top[i] = temp[nu][i];
      }
    }

    vector<vector<int>> mp(m, vector<int> (m, inf));
    for (int i = 0; i < nd; ++i) {
      for (int j = 0; j < m; ++j) {
        if (left[i][j] <= right[i][j]) {
          cmin(mp[left[i][j]][right[i][j]], i);
        }
      }
    }
    for (int l = 0; l < m; ++l) {
      for (int r = m - 1; ~r; --r) {
        if (l) {
          cmin(mp[l][r], mp[l - 1][r]);
        }
        if (r + 1 < m) {
          cmin(mp[l][r], mp[l][r + 1]);
        }
      }
    }

    auto meeting_point = [&](int a, int b) {
      int p = mp[a][b];
      return p <= min(bottom[a], bottom[b]) ? p : inf;
    };

    vector<int> sum1(nd);
    vector<vector<int>> sum2(nd, vector<int> (m));
    vector<vector<int>> sum3(nd, vector<int> (m));
    vector<vector<int>> sum4(m, vector<int> (m));

    for (int i = 0; i < nd; ++i) {
      if (i) {
        sum1[i] = sum1[i - 1];
        for (int j = 0; j < m; ++j) {
          sum2[i][j] = sum2[i - 1][j];
          sum3[i][j] = sum3[i - 1][j];
        }
      }
      for (int j = 0; j < m; ++j) {
        if (left[i][j] <= right[i][j]) {
          sum1[i] += d[i][j] - '0';
          if (left[i][j]) {
            sum2[i][left[i][j] - 1] += d[i][j] - '0';
          }
          if (right[i][j] + 1 < m) {
            sum3[i][right[i][j] + 1] += d[i][j] - '0';
          }
          if (left[i][j] && right[i][j] + 1 < m) {
            sum4[left[i][j] - 1][right[i][j] + 1] += d[i][j] - '0';
          }
        }
      }
    }
    for (int i = 0; i < nd; ++i) {
      for (int j = m - 1; j; --j) {
        sum2[i][j - 1] += sum2[i][j];
      }
      for (int j = 1; j < m; ++j) {
        sum3[i][j] += sum3[i][j - 1];
      }
    }
    for (int l = m - 1; ~l; --l) {
      for (int r = l; r < m; ++r) {
        if (l + 1 < m) {
          sum4[l][r] += sum4[l + 1][r];
        }
        if (r) {
          sum4[l][r] += sum4[l][r - 1];
        }
        if (l + 1 < m && r) {
          sum4[l][r] -= sum4[l + 1][r - 1];
        }
      }
    }

    auto both_reachable = [&](int a, int b, int l) {
      if (meeting_point(a, b) > l) {
        return 0;
      } else {
        return sum1[l] - sum2[l][a] - sum3[l][b] + sum4[a][b];
      }
    };

    vector<int> reachable(m);
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
      reachable[i] = both_reachable(i, i, bottom[i]);
    }

    vector<vector<int>> event(nu);
    vector<bool> ban(m);
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
      if (top[i] >= nu) {
        ban[i] = true;
      } else {
        event[top[i]].push_back(i);
      }
    }
    vector<int> l(m), r(m);
    for (int i = m - 1; ~i; --i) {
      if (d[0][i] == '#') {
        l[i] = inf;
        r[i] = -inf;
      } else {
        l[i] = i;
        r[i] = max(i, i + 1 < m ? r[i + 1] : -inf);
      }
    }
    for (int row = nu - 1; ~row; --row) {
      for (int i = m - 1; ~i; --i) {
        if (u[row][i] == '#') {
          l[i] = inf;
          r[i] = -inf;
        } else if (i + 1 < m) {
          cmin(l[i], l[i + 1]);
          cmax(r[i], r[i + 1]);
        }
      }
      vector<int> has(m);
      vector<int> st(m);
      int sum = 0, stl = 0, str = 0, myl = 0, myr = -1;
      
      auto insert = [&](int x) {
        if (!ban[x]) {
          if (stl < str) {
            sum -= has[st[str - 1]];
            has[st[str - 1]] -= both_reachable(st[str - 1], x, min(bottom[st[str - 1]], bottom[x]));
            sum += has[st[str - 1]];
            if (bottom[st[str - 1]] <= bottom[x]) {
              --str;
              while (stl < str) {
                sum -= has[st[str - 1]];
                has[st[str - 1]] -= both_reachable(st[str - 1], x, min(bottom[st[str - 1]], bottom[x])) - both_reachable(st[str - 1], x, min(bottom[st[str]], bottom[x]));
                sum += has[st[str - 1]];
                if (bottom[st[str - 1]] <= bottom[x]) {
                  --str;
                } else {
                  break;
                }
              }
            }
          }
          st[str++] = x;
          has[x] = reachable[x];
          sum += has[x];
        }
      };

      auto erase = [&](int x) {
        if (!ban[x]) {
          sum -= has[x];
          if (stl < str && st[stl] == x) {
            ++stl;
          }
        }
      };

      for (int i = 0; i < m; ++i) {
        if (l[i] <= r[i]) {
          while (myr < r[i]) {
            insert(++myr);
          }
          while (myl < l[i]) {
            erase(myl++);
          }
          answer += (u[row][i] - '0') * sum;
        }
      }
      for (auto p : event[row]) {
        ban[p] = true;
      }
    }
  };

  solve(board);
  cout << answer << endl;
  return 0;
}