无向图的最小割算法

                       求无向图的最小割

 最小割集◎Stoer-Wagner算法

一个无向连通网络，去掉一个边集可以使其变成两个连通分量则这个边集就是割集；最小割集当然就权和最小的割集。
可以用最小切割最大流定理：
1.min=MAXINT,确定一个源点
2.枚举汇点
3.计算最大流，并确定当前源汇的最小割集，若比min小更新min
4.转到2直到枚举完毕
5.min即为所求输出min
不难看出复杂度很高：枚举汇点要O(n)，最短增广路最大流算法求最大流是O((n^2)m)复杂度，在复杂网络中O(m)=O(n^2)，算法总复杂度 就是O(n^5)；哪怕采用最高标号预进流算法求最大流O((n^2)(m^0.5))，算法总复杂度也要O(n^4)
所以用网络流算法求解最小割集复杂度不会低于O(n^4)。
－－－－－－－－－
prim算法不仅仅可以求最小生成树，也可以求“最大生成树”。最小割集Stoer-Wagner算法就是典型的应用实例。
求解最小割集普遍采用Stoer-Wagner算法，不提供此算法证明和代码，只提供算法思路：
1.min=MAXINT，固定一个顶点P
2.从点P用类似prim的s算法扩展出“最大生成树”，记录最后扩展的顶点和最后扩展的边
3.计算最后扩展到的顶点的切割值（即与此顶点相连的所有边权和），若比min小更新min
4.合并最后扩展的那条边的两个端点为一个顶点（当然他们的边也要合并，这个好理解吧？）
5.转到2，合并N-1次后结束
6.min即为所求，输出min
prim本身复杂度是O(n^2)，合并n-1次，算法复杂度即为O(n^3)
如果在prim中加堆优化，复杂度会降为O((n^2)logn) 　　

#include
using namespace std;
int mat[600][600];
int res;
//Stoer-Wagner算法，加了自己看得懂的备注
//无向图全局最小割，用求prim类似方法o（n^3)，学习了一个下午……
//一开始用枚举源点汇点的最大流求解，复杂度o(n^5) 超时

void Mincut(int n) {
    int node[600], dist[600];
    bool visit[600];
    int i, prev, maxj, j, k;
    for (i = 0; i < n; i++)
        node[i] = i;
    while (n > 1) {
        int maxj = 1;
        for (i = 1; i < n; i++) { //初始化到已圈集合的割大小
            dist[node[i]] = mat[node[0]][node[i]];
            if (dist[node[i]] > dist[node[maxj]])
                maxj = i;
        }
        prev = 0;
        memset(visit, false, sizeof (visit));
        visit[node[0]] = true;
        for (i = 1; i < n; i++) {
            if (i == n - 1) { //只剩最后一个没加入集合的点，更新最小割
                res = min(res, dist[node[maxj]]);
                for (k = 0; k < n; k++) //合并最后一个点以及推出它的集合中的点
                    mat[node[k]][node[prev]] = (mat[node[prev]][node[k]] += mat[node[k]][node[maxj]]);
                node[maxj] = node[--n]; //缩点后的图
            }
            visit[node[maxj]] = true;
            prev = maxj;
            maxj = -1;
            for (j = 1; j < n; j++)
                if (!visit[node[j]]) { //将上次求的maxj加入集合，合并与它相邻的边到割集
                    dist[node[j]] += mat[node[prev]][node[j]];
                    if (maxj == -1 || dist[node[maxj]] < dist[node[j]])
                        maxj = j;
                }
        }

    }
    return;
}

int main() {
    int n, m, a, b, v;
    while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF) {
        res = (1 << 29);
        memset(mat, 0, sizeof (mat));
        while (m--) {
            scanf("%d%d%d", &a, &b, &v);
            mat[a][b] += v;
            mat[b][a] += v;
        }
        Mincut(n);
        printf("%d/n", res);
    }
}

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