Bellman-Ford算法详解

Dijkstra算法是处理单源最短路径的有效算法,但它局限于边的权值非负的情况,若图中出现权值为负的边,Dijkstra算法就会失效,求出的最短路径就可能是错的。

这时候,就需要使用其他的算法来求解最短路径,Bellman-Ford算法就是其中最常用的一个。该算法由美国数学家理查德贝尔曼(Richard Bellman, 动态规划的提出者)和小莱斯特福特(Lester Ford)发明。

适用条件&范围:

单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);

有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);

边权可正可负(如有负权回路输出错误提示);

差分约束系统;

Bellman-Ford算法的流程如下:
给定图G(V, E)(其中VE分别为图G的顶点集与边集),源点s数组Distant[i]记录从源点s到顶点i的路径长度,初始化数组Distant[n], Distant[s]0

以下操作循环执行至多n-1次,n为顶点数:
对于每一条边e(u, v),如果Distant[u] + w(u, v) < Distant[v],则另Distant[v] = Distant[u]+w(u, v)w(u, v)为边e(u,v)的权值;
若上述操作没有对Distant进行更新,说明最短路径已经查找完毕,或者部分点不可达,跳出循环。否则执行下次循环;

为了检测图中是否存在负环路,即权值之和小于0的环路。对于每一条边e(u, v),如果存在Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]的边,则图中存在负环路,即是说改图无法求出单源最短路径。否则数组Distant[n]中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。

可知,Bellman-Ford算法寻找单源最短路径的时间复杂度为O(V*E).

BellmanFord算法可以大致分为三个部分
第一,初始化所有点。每一个点保存一个值,表示从原点到达这个点的距离,将原点的值设为0,其它的点的值设为无穷大(表示不可达)。
第二,进行循环,循环下标为从1n1n等于图中点的个数)。在循环内部,遍历所有的边,进行松弛计算。
第三,遍历途中所有的边(edgeuv)),判断是否存在这样情况:
dv) > d (u) + w(u,v)
则返回false,表示途中存在从源点可达的权为负的回路。
 
之所以需要第三部分的原因,是因为,如果存在从源点可达的权为负的回路。则 应为无法收敛而导致不能求出最短路径。 

测试代码如下:(下面为有向图的Bellman-Ford算法。。。。。)

[cpp]  view plain  copy
  1. #include  
  2. #include  
  3. using namespace std;  
  4.   
  5. #define MAX 0x3f3f3f3f  
  6. #define N 1010  
  7. int nodenum, edgenum, original; //点,边,起点  
  8.   
  9. typedef struct Edge //边  
  10. {  
  11.     int u, v;  
  12.     int cost;  
  13. }Edge;  
  14.   
  15. Edge edge[N];  
  16. int dis[N], pre[N];  
  17.   
  18. bool Bellman_Ford()  
  19. {  
  20.     for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //初始化  
  21.         dis[i] = (i == original ? 0 : MAX);  
  22.     for(int i = 1; i <= nodenum - 1; ++i)  
  23.         for(int j = 1; j <= edgenum; ++j)  
  24.             if(dis[edge[j].v] > dis[edge[j].u] + edge[j].cost) //松弛(顺序一定不能反~)  
  25.             {  
  26.                 dis[edge[j].v] = dis[edge[j].u] + edge[j].cost;  
  27.                 pre[edge[j].v] = edge[j].u;  
  28.             }  
  29.             bool flag = 1; //判断是否含有负权回路  
  30.             for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)  
  31.                 if(dis[edge[i].v] > dis[edge[i].u] + edge[i].cost)  
  32.                 {  
  33.                     flag = 0;  
  34.                     break;  
  35.                 }  
  36.                 return flag;  
  37. }  
  38.   
  39. void print_path(int root) //打印最短路的路径(反向)  
  40. {  
  41.     while(root != pre[root]) //前驱  
  42.     {  
  43.         printf("%d-->", root);  
  44.         root = pre[root];  
  45.     }  
  46.     if(root == pre[root])  
  47.         printf("%d\n", root);  
  48. }  
  49.   
  50. int main()  
  51. {  
  52.     scanf("%d%d%d", &nodenum, &edgenum, &original);  
  53.     pre[original] = original;  
  54.     for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)  
  55.     {  
  56.         scanf("%d%d%d", &edge[i].u, &edge[i].v, &edge[i].cost);  
  57.     }  
  58.     if(Bellman_Ford())  
  59.         for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //每个点最短路  
  60.         {  
  61.             printf("%d\n", dis[i]);  
  62.             printf("Path:");  
  63.             print_path(i);  
  64.         }  
  65.     else  
  66.         printf("have negative circle\n");  
  67.     return 0;  
  68. }  

测试数据:

4 6 1
1 2 20
1 3 5
4 1 -200
2 4 4
4 2 4
3 4 2

和:

4 6 1
1 2 2
1 3 5
4 1 10
2 4 4
4 2 4
3 4 2

题目练习  POJ 3259 Wormholes

代码如下

/*
	板子题
	
	Bellman-Ford算法
	
	强!强!强! 
*/

#include 
#include 
#define N 505
#define inf 100000
int dis[N];   //最小距离 
int n, m;
struct Cow 
{
    int x;//起点
    int y;//终点
    int w;//权值
}cow[5300];
int Bellman_ford(int m)
{
    int i, j, k, t;
    int ok;
    for(i=1; i<=n; i++)
        dis[i] = inf;
    dis[1] = 0;
    //对每一个点进行松弛   尽可能的让路径最小 
    for(i=1; i<=n-1; i++)
    {
        ok = 1;
        for(j=1; j<=m; j++)
        {
            if(dis[cow[j].x] > dis[cow[j].y] + cow[j].w)
            {
                dis[cow[j].x] = dis[cow[j].y] + cow[j].w;
                ok = 0;
            }
        } 
        //如果没有点进行更新  那么跳出即可  可减小时间复杂度 
        if(ok) 
            break; 
    }
    //判断图中是否有负权值存在 
    for(j=1; j<=m; j++)
    {
        if(d[cow[j].x] > d[cow[j].y] + cow[j].w)
            return 0;
    }
    return 1;
}

int main()
{
    int i, j, t, x;
    int a, b, c, w;
    scanf("%d", &t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d%d", &n, &m, &w);
        memset(edges, 0, sizeof(edges));
        //因为是无向图  所以需要将所有的添加进去 
        for(i=0, j=1; j<=m;j++)
        {
            scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
            i++;
            cow[i].x = a;
            cow[i].y = b;
            cow[i].w = c;
            i++;
            cow[i].x = b;
            cow[i].y = a;
            cow[i].w = c;

        }
        for(j=1; j<=w; j++)
        {
            scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);

            i++;
            cow[i].x = a ;
            cow[i].y = b;
            cow[i].w = -c;

        }
        if(Bellman_ford(i))
            printf("NO\n");
        else 
            printf("YES\n");
    }
    return 0;
}

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