Bellman-Ford算法详解

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Dijkstra算法是处理单源最短路径的有效算法，但它局限于边的权值非负的情况，若图中出现权值为负的边，Dijkstra算法就会失效，求出的最短路径就可能是错的。

这时候，就需要使用其他的算法来求解最短路径，Bellman-Ford算法就是其中最常用的一个。该算法由美国数学家理查德•贝尔曼（Richard Bellman, 动态规划的提出者）和小莱斯特•福特（Lester Ford）发明。

适用条件&范围：

单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);

有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);

边权可正可负(如有负权回路输出错误提示);

差分约束系统;

Bellman-Ford算法的流程如下：
给定图G(V, E)（其中V、E分别为图G的顶点集与边集），源点s，数组Distant[i]记录从源点s到顶点i的路径长度，初始化数组Distant[n]为, Distant[s]为0；

以下操作循环执行至多n-1次，n为顶点数：
对于每一条边e(u, v)，如果Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]，则另Distant[v] = Distant[u]+w(u, v)。w(u, v)为边e(u,v)的权值；
若上述操作没有对Distant进行更新，说明最短路径已经查找完毕，或者部分点不可达，跳出循环。否则执行下次循环；

为了检测图中是否存在负环路，即权值之和小于0的环路。对于每一条边e(u, v)，如果存在Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]的边，则图中存在负环路，即是说改图无法求出单源最短路径。否则数组Distant[n]中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。

可知，Bellman-Ford算法寻找单源最短路径的时间复杂度为O(V*E).

Bellman－Ford算法可以大致分为三个部分
第一，初始化所有点。每一个点保存一个值，表示从原点到达这个点的距离，将原点的值设为0，其它的点的值设为无穷大（表示不可达）。
第二，进行循环，循环下标为从1到n－1（n等于图中点的个数）。在循环内部，遍历所有的边，进行松弛计算。
第三，遍历途中所有的边（edge（u，v）），判断是否存在这样情况：
d（v） > d (u) + w(u,v)
则返回false，表示途中存在从源点可达的权为负的回路。
 
之所以需要第三部分的原因，是因为，如果存在从源点可达的权为负的回路。则 应为无法收敛而导致不能求出最短路径。 

测试代码如下：（下面为有向图的Bellman-Ford算法。。。。。）

#include
#include
using namespace std;

#define MAX 0x3f3f3f3f
#define N 1010
int nodenum, edgenum, original; //点，边，起点

typedef struct Edge //边
{
    int u, v;
    int cost;
}Edge;

Edge edge[N];
int dis[N], pre[N];

bool Bellman_Ford()
{
    for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //初始化
        dis[i] = (i == original ? 0 : MAX);
    for(int i = 1; i <= nodenum - 1; ++i)
        for(int j = 1; j <= edgenum; ++j)
            if(dis[edge[j].v] > dis[edge[j].u] + edge[j].cost) //松弛（顺序一定不能反~）
            {
                dis[edge[j].v] = dis[edge[j].u] + edge[j].cost;
                pre[edge[j].v] = edge[j].u;
            }
            bool flag = 1; //判断是否含有负权回路
            for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)
                if(dis[edge[i].v] > dis[edge[i].u] + edge[i].cost)
                {
                    flag = 0;
                    break;
                }
                return flag;
}

void print_path(int root) //打印最短路的路径（反向）
{
    while(root != pre[root]) //前驱
    {
        printf("%d-->", root);
        root = pre[root];
    }
    if(root == pre[root])
        printf("%d\n", root);
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &nodenum, &edgenum, &original);
    pre[original] = original;
    for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)
    {
        scanf("%d%d%d", &edge[i].u, &edge[i].v, &edge[i].cost);
    }
    if(Bellman_Ford())
        for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //每个点最短路
        {
            printf("%d\n", dis[i]);
            printf("Path:");
            print_path(i);
        }
    else
        printf("have negative circle\n");
    return 0;
}

测试数据：

4 6 1
1 2 20
1 3 5
4 1 -200
2 4 4
4 2 4
3 4 2

和：

4 6 1
1 2 2
1 3 5
4 1 10
2 4 4
4 2 4
3 4 2

题目练习  POJ 3259 Wormholes

代码如下

/*
	板子题
	
	Bellman-Ford算法
	
	强！强！强！ 
*/

#include 
#include 
#define N 505
#define inf 100000
int dis[N];   //最小距离 
int n, m;
struct Cow 
{
    int x;//起点
    int y;//终点
    int w;//权值
}cow[5300];
int Bellman_ford(int m)
{
    int i, j, k, t;
    int ok;
    for(i=1; i<=n; i++)
        dis[i] = inf;
    dis[1] = 0;
    //对每一个点进行松弛   尽可能的让路径最小 
    for(i=1; i<=n-1; i++)
    {
        ok = 1;
        for(j=1; j<=m; j++)
        {
            if(dis[cow[j].x] > dis[cow[j].y] + cow[j].w)
            {
                dis[cow[j].x] = dis[cow[j].y] + cow[j].w;
                ok = 0;
            }
        } 
        //如果没有点进行更新  那么跳出即可  可减小时间复杂度 
        if(ok) 
            break; 
    }
    //判断图中是否有负权值存在 
    for(j=1; j<=m; j++)
    {
        if(d[cow[j].x] > d[cow[j].y] + cow[j].w)
            return 0;
    }
    return 1;
}

int main()
{
    int i, j, t, x;
    int a, b, c, w;
    scanf("%d", &t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d%d", &n, &m, &w);
        memset(edges, 0, sizeof(edges));
        //因为是无向图  所以需要将所有的添加进去 
        for(i=0, j=1; j<=m;j++)
        {
            scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
            i++;
            cow[i].x = a;
            cow[i].y = b;
            cow[i].w = c;
            i++;
            cow[i].x = b;
            cow[i].y = a;
            cow[i].w = c;

        }
        for(j=1; j<=w; j++)
        {
            scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);

            i++;
            cow[i].x = a ;
            cow[i].y = b;
            cow[i].w = -c;

        }
        if(Bellman_ford(i))
            printf("NO\n");
        else 
            printf("YES\n");
    }
    return 0;
}