[蓝桥杯][算法训练] ALGO-21 VIP试题 装箱问题 【动态规划】01背包问题

ALGO-21 VIP试题 装箱问题 动态规划

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问题描述
　　有一个箱子容量为V（正整数，0＜＝V＜＝20000），同时有n个物品（0＜n＜＝30），每个物品有一个体积（正整数）。
　　要求n个物品中，任取若干个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。
输入格式
　　第一行为一个整数，表示箱子容量；
　　第二行为一个整数，表示有n个物品；
　　接下来n行，每行一个整数表示这n个物品的各自体积。
　　
输出格式
　　一个整数，表示箱子剩余空间。
　　样例输入
　　24
　　6
　　8
　　3
　　12
　　7
　　9
　　7
样例输出
0

题解：

动态规划之01背包问题

1.状态表示 f：（化零为整的过程）

集合： $f(i,j)$——取前i个物品，且体积不超过j的方案 的集合
属性（使集合中每个方案的总体积最大）：$max(f(N,V))$——最大体积 （只考虑前N个物品，且总体积不超过 V）

2.状态计算（集合划分：化整为零的过程）：

对于每一个物体，都有两种选择：放入或者不放入
集合1：不放第i个的总体积值 ：$f(i-1,j)$
集合2：放第i个的总体积值：$f(i-1,j-w_i)+w_i$

C++示例代码：

#include
#include
using namespace std;
int Wi[30];//每个物品的体积 
int f[33][20021];//取前i个物品，且总体积<=j的 体积
int main(){
     
	int V,N;
	cin>>V>>N;
	for(int i=1;i<=N;i++){
     
		cin>>Wi[i];
	}
/*
	1.状态表示 f：（化零为整的过程） 
	集合： f(i,j)取前i个物品，且体积不超过j的方案 的集合 
	属性：（使集合中每个方案的总体积最大）：max f(N,V)最大体积 （只考虑前N个物品，且总体积不超过 V）
	
	2.状态计算（集合划分：化整为零的过程）：
	对于每一个物体，都有两种选择-放入或者不放入
	集合1：不放第i个的体积值 ：f(i-1,j) 
	集合2：放第i个的体积值：f(i-1,j-wi)+wi
*/
	for(int i=1;i<=N;i++){
     //  1
		for(int j=0;j<=V;j++){
     
			f[i][j]=f[i-1][j];//不选的集合
			if(Wi[i]<=j)//选 的集合不一定存在 ，要保证W[i]体积不超过j才能考虑
				f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-Wi[i]]+Wi[i]);
		}
	}
	cout<<V-f[N][V];//总体积-最大体积 
	
	return 0;
}