并查集 详细介绍
概念
使用场景
操作以及具体实现
1）初始化
2）查找某节点所在集合的Boss（即找到其根节点）+ 路径压缩
3）合并两集合
4）判断两个节点是否在同一个集合中
5）统计集合数量
6）统计集合中节点的个数
7）并查集的删除操作
7-1）为了用可以进行删除操作的并查集，我们的初始化为
7-2）删除操作
概念
根据百度百科所给的定义，如下：
并查集，在一些有N个元素的集合应用问题中，我们通常是（初始化）在开始时让每个元素构成一个单元素的集合，然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并，其间要反复查找一个元素在哪个集合中。这一类问题近几年来反复出现在信息学的国际国内赛题中，其特点是看似并不复杂，但数据量极大，若用正常的数据结构来描述的话，往往在空间上过大，计算机无法承受；即使在空间上勉强通过，运行的时间复杂度也极高，根本就不可能在比赛规定的运行时间（1～3秒）内计算出试题需要的结果，只能用并查集来描述。
并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询问题。常常在使用中以森林来表示。
根据以上定义，一般的并查集，就是先初始化，使得单个节点就是对应一个集合，然后根据所给的关系，讲属于同一集合的节点进行合并，在合并的时候，（每个集合会有一个代表人，称为Boss），我们需要找到两个节点对应的Boss，如果Boss相同，说明两个节点本身就在同一个集合里了；如果Boss不同，那就说明不是同一个集合，因此我们只要将两个Boss给一个“附属”关系，也就是一个Boss认另一个Boss为Boss，那么就可以将两个集合进行连通了。
使用场景
出现连通情况，并且可以有多个连通情况的时候，就可以考虑使用并查集，来求集合的分类。
当遇到有关物与物之间的关系，且这种关系是可传递的问题时，可以优先尝试用并查集解决。
也就是给了一些关系，而这些关系是“无向”的，而且关于连通情况之类的，都可以考虑使用并查集。
比如求出，有多少个联通块，其实就是分成了几个集合。那么就可以用并查集来解决（也可以用DFS，但是并查集应该更快）。
操作以及具体实现
为了解释清楚，会在每一个操作前，加上一段故事描述，这些故事描述借鉴了“飘过的小牛”的一篇博客超有爱的并查集~
话说江湖上散落着各式各样的大侠，有上千个之多。他们没有什么正当职业，整天背着剑在外面走来走去，碰到和自己不是一路人的，就免不了要打一架。但大侠们有一个优点就是讲义气，绝对不打自己的朋友。而且他们信奉“朋友的朋友就是我的朋友”，只要是能通过朋友关系串联起来的，不管拐了多少个弯，都认为是自己人。这样一来，江湖上就形成了一个一个的帮派，通过两两之间的朋友关系串联起来。而不在同一个帮派的人，无论如何都无法通过朋友关系连起来，于是就可以放心往死了打。但是两个原本互不相识的人，如何判断是否属于一个朋友圈呢？
我们可以在每个朋友圈内推举出一个比较有名望的人，作为该圈子的代表人物Boss（也可以称为掌门）。这样，每个圈子就可以这样命名“中国同胞队”美国同胞队”……两人只要互相对一下自己的Boss（或掌门）是不是同一个人，就可以确定敌友关系了。
但是还有问题啊，大侠们只知道自己直接的朋友是谁，很多人压根就不认识Boss（或掌门）要判断自己的队长是谁，只能漫无目的的通过朋友的朋友关系问下去：“你是不是Boss？你是不是Boss？”这样，想打一架得先问个几十年，饿都饿死了，受不了。这样一来，Boss（或掌门）面子上也挂不住了，不仅效率太低，还有可能陷入无限循环中。于是Boss（或掌门）下令，重新组队。队内所有人实行分等级制度，形成树状结构，我Boss（或掌门）就是根节点，下面分别是二级队员、三级队员。每个人只要记住自己的上级是谁就行了。遇到判断敌友的时候，只要一层层向上问，直到最高层，就可以在短时间内确定Boss（或掌门）是谁了。由于我们关心的只是两个人之间是否是一个帮派的，至于他们是如何通过朋友关系相关联的，以及每个圈子内部的结构是怎样的，甚至Boss（或掌门）是谁，都不重要了。所以我们可以放任队长随意重新组队，只要不搞错敌友关系就好了。于是，门派产生了。
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原文链接：https://blog.csdn.net/niushuai666/article/details/6662911
上面的故事，说出了，并查集是一个树型的数据结构，这是为了在极短时间里判断不同的节点是否在同一个集合中。而且，无论是否直接连通的，还是转了很多弯才连通的，都认为是一个集合。
根据并查集一般的使用情况，操作可分为：
1）初始化
初始化就是，一开始有 n 个节点（可以试 0 到 n-1，也可以是 1 到 n），我们认为这些单个节点都自己组成了单个集合，也就是说，这个节点的Boss（根节点）就是自己，这样子，一个节点就是一个集合。
// fa[i] 表示节点 i 的父节点是...
// 一般设 MAXN 就是最多的节点数
const int MAXN=1e5+50;
int fa[MAXN]
// 因为每个元素属于单独的一个集合，所以每个元素以自己作为自己的父节点
// 也就是说，此时这个节点就是该集合的代表
// 如果找到某个节点刚好是自己的父节点，那就说明这个点是根节点
// 也就是我们上文说的Boss（集合代表人）
for(int i = 0;i < n;i++)
fa[i]=i;当我们判断一个节点的父节点，刚好是本身，也就是说，找到了根节点，即这个节点是该集合的Boss。
2）查找某节点所在集合的Boss（即找到其根节点）+ 路径压缩
int fa[MAXN]; 这个数组，记录了每个大侠的上级是谁。大侠们从1或者0开始编号（依据题意而定），pre[15]=3就表示15号大侠的上级是3号大侠。如果一个人的上级就是他自己，那说明他就是掌门人（或Boss）了，查找到此为止。也有孤家寡人自成一派的，比如欧阳锋，那么他的上级就是他自己。每个人都只认自己的上级。比如胡青牛同学只知道自己的上级是杨左使。张无忌是谁？不认识！要想知道自己的掌门是谁，只能一级级查上去。
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所以要想找到某节点的根节点（掌门或Boss），就要一级一级向上找，那么也就是每次都找该节点的上级，如果上级是Boss（即上级的上级是自己，也就是上级就是根节点了），那就说明找到了；不然就又继续向上找
// 非递归实现—未优化版本
// 每次都判断该节点是不是根节点（也就是父节点是否是自己）
// 如果是，说明这个点 x 就是根节点（Boss）；不然就继续往上找
int findFa(int x)
{
while(fa[x]!=x)
x=fa[x];
return x;
}
// 递归实现—未优化版本
// 原理和上面循环结构一样，
int findFa(int x)
{
if(fa[x]!=x)
return Find(fa[x]);
else
return fa[x];
}
建立门派的过程是两个人两个人地连接起来的，谁当谁的手下完全随机。最后的树状结构会变成什么样，我也无法预知，一字长蛇阵也有可能。这样查找的效率就会比较低下。最理想的情况就是所有人的直接上级都是掌门（或Boss），一共就两级结构，只要找一次就找到掌门了。哪怕不能完全做到，也最好尽量接近。这样就产生了路径压缩算法。
设想这样一个场景：两个互不相识的大侠碰面了，想知道能不能干一场。 于是赶紧打电话问自己的上级：“你是不是掌门？” 上级说：“我不是呀，我的上级是谁谁谁，你问问他看看。” 一路问下去，原来两人的最终boss都是东厂曹公公。 “哎呀呀，原来是自己人，有礼有礼，在下三营六组白面葫芦娃!” “幸会幸会，在下九营十八组仙子狗尾巴花！” 两人高高兴兴地手拉手喝酒去了。 “等等等等，两位大侠请留步，还有事情没完成呢！”我叫住他俩。 “哦，对了，还要做路径压缩。”两人醒悟。 白面葫芦娃打电话给他的上级六组长：“组长啊，我查过了，其实偶们的掌门是曹公公。不如偶们一起结拜在曹公公手下吧，省得级别太低，以后查找掌门麻烦。” “唔，有道理。” 白面葫芦娃接着打电话给刚才拜访过的三营长……仙子狗尾巴花也做了同样的事情。 这样，查询中所有涉及到的人物都聚集在曹公公的直接领导下。每次查询都做了优化处理，所以整个门派树的层数都会维持在比较低的水平上。总之它所实现的功能就是如下图：
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所以在查找根节点Boss（或掌门）时，一般都会进行路径压缩，方便后面再查找，能将树型结构的层数减少。
// 非递归实现 + 路径压缩
int findFa(int x)
{
int son, temp;
son = x; // 记录原来的节点，因为后面 x 处理变成了根节点
while(fa[x]!=x)
x=fa[x];
// 路径压缩，将原来的节点以及它的所有父节点
// 都连接到根节点 x 去。
while(son != x)
{
temp = fa[son]; // 先记住，原本节点的父节点，不然后面改变了
fa[son] = x;
son = temp;
}
return x;
}
// 递归实现 + 路径压缩
int findFa(int x)//递归实现—优化版本
{
if(fa[x]!=x)
fa[x]=findFa(fa[x]);
//路径压缩，优化核心，把此时 x 的父节点变为根节点，利用了递归
return fa[x];
}
3）合并两集合
再来看看Union函数，就是在两个点之间连一条线，这样一来，原先它们所在的两个集合的所有点就都可以互通了。
这在图上很好办，画条线就行了。但我们现在是用并查集来描述武林中的状况的，一共只有一个fa[ ]数组，该如何实现呢？ 还是举江湖的例子，假设现在武林中的形势如图所示。
虚竹帅锅与周芷若MM是我非常喜欢的两个人物，他们的终极boss分别是玄慈方丈和灭绝师太，那明显就是两个阵营了。我不希望他们互相打架，就对他俩说：“你们两位拉拉勾，做好朋友吧。”他们看在我的面子上，同意了。这一同意可非同小可，整个少林和峨眉派的人就不能打架了。这么重大的变化，可如何实现呀，要改动多少地方？其实非常简单，我对玄慈方丈说：“大师，麻烦你把你的上级改为灭绝师太吧。这样一来，两派原先的所有人员的终极boss都是师太，那还打个球啊！反正我们关心的只是连通性，门派内部的结构不要紧的。”玄慈一听肯定火大了：“我靠，凭什么是我变成她手下呀，怎么不反过来？我抗议！”于是，两人相约一战，杀的是天昏地暗，风云为之变色啊，但是啊，这场战争终究会有胜负，胜者为王。弱者就被吞并了。反正谁加入谁效果是一样的，门派就由两个变成一个了。
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合并两个节点对应的集合，我们先找到两个节点对应的Boss，利用2）中讲到的 findFa() 函数。判断两个Boss是不是同一个
- 如果Boss相同，说明这两个节点本身就在同一个集合，不用处理
- 如果Boss不相同，那么就把两个Boss变成一个从属关系，即其中一个Boss的父节点变成是另一个Boss，这样子两个集合就成了一个集合
void join(int x,int y)
{
x = findFa(x);
y = findFa(y);
if(x!=y) // 不是同一个Boss，那就弄一个从属关系
fa[y]=x;
}4）判断两个节点是否在同一个集合中
利用2）中的 findFa() 函数，找到两个节点对应的Boss，如果Boss相同，说明时同一个集合；否则，就是不同集合。
bool isSame(int x,int y)
{
x = findFa(x);
y = findFa(y);
if(x==y)
return true;
else
return false;
}5）统计集合数量
要统计有几个集合，实际上就是判断有几个Boss，其中Boss表示的是，某个节点的父节点是其本身，那么该节点就是Boss。
所以只要我们对所有节点，都进行是否是Boss判断，是Boss说明就是有一个集合。
// 输入：n个节点。输出：集合个数
int countSets(int n)
{
int cnt=0;
for(int i = 0; i6）统计集合中节点的个数
我们可以得出所有节点的Boss，利用2）中的 findFa() 函数。利用一个数组 num 记录统计每个节点对应的Boss出现次数，这样子不仅可以知道有几个集合（Boss），也可以知道每个集合中的节点个数。
int num[MAXN];
void countElements(){
memset(num, 0, sizeof(num));
for(int i = 0;i < n;i++){
// 统计每个Boss下的节点个数
num[findFa(i)]++;
}
return;
}7）并查集的删除操作
这个很重要，有的时候，如果需要进行并查集的中，即某个集合中删除去某个点，但不影响跟这个点有关系的其他点之间的关系，比如：
当删除2号节点，1，3，4还是在一个集合中
显然，如果还是利用常规的并查集并不能实现这一操作。
常规并查集的初始化（也就是我们的1）中的初始化）的方法是把每个节点的父节点初始化成自己，fa[u] = u，u这个节点就是整个集合的Boss。此时，u 有两重身份：既是一个节点的名字，同时也是这个节点对应的集合的代表人Boss。
而当要删除某个节点时，即只改变这个节点的Boss，但由于上面的常规初始化，导致这也影响了其他人的Boss改变。
因此想要删除节点（改变其Boss）而不影响跟这个节点有关的其他节点的Boss，那么只能在初始化的时候，不用上面讲的常规初始化方法。
也就是我们建立虚拟节点（实际上没有的，比如本来只有 0 到 n-1 节点，那么第 n 个节点之后的都是虚拟节点，即实际上没有，但是我们为了处理方便，加进来的节点），这样子，只要把原本的节点（0 到 n-1）的Boss不给（0 到 n-1）而是给虚拟节点（第 n 以后的节点）来当。
这样子即使我们删除了某个节点（改变了它的Boss），那么只是它的Boss变了，其他的Boss还是不变的（因为和那个节点本身没关系了）。
7-1）为了用可以进行删除操作的并查集，我们的初始化为
int fa[MAXN];
int index;
void init(){
// 本身有 n（0 到 n-1） 个节点，所以虚拟节点是从第 n 个开始
index=n;
// 给原本实际上存在的 0 到 n-1 个节点，给Boss（n 到 2n-1）
for(int i=0;i7-2）删除操作
index 用于在删除时不断往后扩展新的节点，例如在删除了2号节点后，2号节点是 一个独立的集合，因此它的父节点不能是原来的任何一个节点（包括原来的虚拟节点）中，因此 index 变量设的是全局变量，因此 fa[2]=index++ 就表示把 2号节点的Boss重定向了，也就是从原来的集合中删除了 2号节点。
void del(int x){
// 将要删除的 x 节点重新给为 Boss （index）
fa[x] = index;
// 因为给的节点又是之前没有出现的，所以对于虚拟节点，我们还是常规初始化
// 也就是对于这个新的节点，就是Boss，所以该节点的父节点即为自身
// 也就是说明，重定向的这个节点 index 也是一个集合的 Boss（同时虚拟节点往后走一位，用于下次删除）
fa[index] = index++;
}