四元数旋转运算过程

本博客通过运算验证旋转后的四元数仍是一个虚四元数，即实部分量为0，虚部三分量仍表示一个空间点。

• 使用四元数 p=(0,x,y,z) p = ( 0 , x , y , z ) 表示空间点 (x,y,z) ( x , y , z ) ，即 p=(0,v⃗ ) p = ( 0 , v → ) ，实部为0，为虚四元数，
• 使用单位向量 n⃗ =(n1,n2,n3) n → = ( n 1 , n 2 , n 3 ) 表示旋转轴。

• 使用 θ θ 表示旋转角度。

• 使用四元数 q=(cosθ2,n⃗ sinθ2) q = ( cos ⁡ θ 2 , n → sin ⁡ θ 2 ) 描述这一旋转，易验证 q q 为单位四元数满足 ||q||=1 | | q | | = 1 。

四元数的共轭定义如下：
p∗=(s,−v⃗ ) p ∗ = ( s , − v → )
即对原四元数虚部取反得到其共轭
四元数求逆满足公式：
p−1=q∗||p||2 p − 1 = q ∗ | | p | | 2

由于 q q 是单位四元数，因此求逆时，分母为1，所以：
q−1=(cosθ2,−n⃗ ⋅sinθ2) q − 1 = ( cos ⁡ θ 2 , − n → ⋅ sin ⁡ θ 2 )

旋转后坐标满足 p1=qpq−1 p 1 = q p q − 1 1，本文通过四元数逐项相乘来分析 p1 p 1 实部结果

任给四元数 qa=(sa,va) q a = ( s a , v a ) ， qb=(sb,vb) q b = ( s b , v b ) ，四元数乘法法则如下：
qaqb=(sasb−vTavb,savb+sbva+va×vb) q a q b = ( s a s b − v a T v b , s a v b + s b v a + v a × v b )

先求解 r=qp r = q p
r=qp=(cosθ2⋅0−(n1v1+n2v2+n3v3)⋅sinθ2(v⃗ ⋅cosθ2+(n⃗ ⋅sinθ2)×v⃗ )T)T r = q p = ( cos ⁡ θ 2 ⋅ 0 − ( n 1 v 1 + n 2 v 2 + n 3 v 3 ) ⋅ sin ⁡ θ 2 ( v → ⋅ cos ⁡ θ 2 + ( n → ⋅ sin ⁡ θ 2 ) × v → ) T ) T

其中， ((n⃗ ⋅sinθ2)×v⃗ )T=⎡⎣⎢⎢i⃗ n1⋅sinθ2v1j⃗ n2⋅sinθ2v2k⃗ n3⋅sinθ2v3⎤⎦⎥⎥=sinθ2⋅[n2v3−v2n3,n3v1−v3n1,n1v2−v1n2] ( ( n → ⋅ sin ⁡ θ 2 ) × v → ) T = [ i → j → k → n 1 ⋅ sin ⁡ θ 2 n 2 ⋅ sin ⁡ θ 2 n 3 ⋅ sin ⁡ θ 2 v 1 v 2 v 3 ] = sin ⁡ θ 2 ⋅ [ n 2 v 3 − v 2 n 3 , n 3 v 1 − v 3 n 1 , n 1 v 2 − v 1 n 2 ]
所以， r=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜−(n1v1+n2v2+n3v3)⋅sinθ2cosθ2⋅v1+sinθ2⋅(n2v3−v2n3)cosθ2⋅v2+sinθ2⋅(n3v1−v3n1)cosθ2⋅v3+sinθ2⋅(n1v2−v1n2)⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟T r = ( − ( n 1 v 1 + n 2 v 2 + n 3 v 3 ) ⋅ sin ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 ⋅ v 1 + sin ⁡ θ 2 ⋅ ( n 2 v 3 − v 2 n 3 ) cos ⁡ θ 2 ⋅ v 2 + sin ⁡ θ 2 ⋅ ( n 3 v 1 − v 3 n 1 ) cos ⁡ θ 2 ⋅ v 3 + sin ⁡ θ 2 ⋅ ( n 1 v 2 − v 1 n 2 ) ) T

再求解 q1=rq−1=(s1,v1→) q 1 = r q − 1 = ( s 1 , v 1 → ) 即可，我们只需验证 s1 s 1 是否为0即可。继续使用四元数乘法法则：
s1=(−(n1v1+n2v2+n3v3)⋅sinθ2)⋅cosθ2+(cosθ2⋅v1+sinθ2⋅(n2v3−v2n3))⋅n1⋅sinθ2+(cosθ2⋅v2+sinθ2⋅(n3v1−v3n1))⋅n2⋅sinθ2+(cosθ2⋅v3+sinθ2⋅(n1v2−v1n2))⋅n3⋅sinθ2 s 1 = ( − ( n 1 v 1 + n 2 v 2 + n 3 v 3 ) ⋅ sin ⁡ θ 2 ) ⋅ cos ⁡ θ 2 + ( cos ⁡ θ 2 ⋅ v 1 + sin ⁡ θ 2 ⋅ ( n 2 v 3 − v 2 n 3 ) ) ⋅ n 1 ⋅ sin ⁡ θ 2 + ( cos ⁡ θ 2 ⋅ v 2 + sin ⁡ θ 2 ⋅ ( n 3 v 1 − v 3 n 1 ) ) ⋅ n 2 ⋅ sin ⁡ θ 2 + ( cos ⁡ θ 2 ⋅ v 3 + sin ⁡ θ 2 ⋅ ( n 1 v 2 − v 1 n 2 ) ) ⋅ n 3 ⋅ sin ⁡ θ 2
抵消化简后得到：
s1=(sinθ2)2⋅∣∣∣∣n1n1v1n2n2v2n3n3v3∣∣∣∣ s 1 = ( sin ⁡ θ 2 ) 2 ⋅ | n 1 n 2 n 3 n 1 n 2 n 3 v 1 v 2 v 3 |
显然，此行列式为0，即旋转后的四元数 p1 p 1 实部为0，其虚部仍表示一个空间坐标，证毕。

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1. 高翔《视觉SLAM十四讲》 ↩