MIT算法导论公开课之第21课 高级课题、并行算法（二）

矩阵乘法

A、B为n x n的矩阵，计算矩阵C=A·B，使用分治法（使用将矩阵分块的策略）。

• 算法伪码：

Mult(C,A,B,n)//C=A·B
    Temp matrix T[1~n,1~n]
    if n=1
        C[1,1] ← A[1,1]·B[1,1]
    else
        //O(1)
        spawn Mult(C11,A11,B11,n/2)
        spawn Mult(C12,A11,B12,n/2)
        spawn Mult(C21,A21,B11,n/2)
        spawn Mult(C22,A21,B12,n/2)
        spawn Mult(T11,A12,B21,n/2)
        spawn Mult(T12,A12,B22,n/2)
        spawn Mult(T21,A22,B21,n/2)
        spawn Mult(T22,A22,B22,n/2)
        sync
        Add(C,T,n)
Add(C,T,n)//C=C+T
    case of partitioning>
    spawn Add(C11,T11,n/2)
    spawn Add(C12,T12,n/2)
    spawn Add(C21,T21,n/2)
    spawn Add(C22,T22,n/2)
    sync

• 算法分析：
  
• Ex：
  
• 算法缺点：
  在较大规模的计算过程中，使用临时矩阵T产生的分配和回收空间上的时耗会比较大，从而降低了算法的性能。
• 改进算法思路：
  可以选择放弃一些并行度以减少分配和回收空间带来的时耗。
• 改进算法伪码：

Mult-Add(C,A,B,n)//C=C+A·B
    case of partitioning>
    spawn Mult-Add (C11,A11,B11,n/2)
    spawn Mult-Add (C12,A11,B12,n/2)
    spawn Mult-Add (C21,A21,B11,n/2)
    spawn Mult-Add (C22,A21,B12,n/2)
    sync
    spawn Mult-Add (C11,A12,B21,n/2)
    spawn Mult-Add (C12,A12,B22,n/2)
    spawn Mult-Add (C21,A22,B21,n/2)
    spawn Mult-Add (C22,A22,B22,n/2)
    sync

• 改进算法分析：
  
• Ex：
  

归并排序

• 算法伪码：

Merge-Sort(A,p,r)
    if p2
        spawn Merge-Sort(A,p,q)
        spawn Merge-Sort(A,q+1,r)
        sync
        Merge(A,p,q,r)//合并排序后的两部分

• 算法分析：
  

• 并行合并：

  • 算法图示：
    
    选取较长的数组A，取中间的元素，利用其在B中的位置，进行如图所示的划分，递归的处理左右两部分。
  • 算法伪码：

  P-Merge(A[1~l],B[1~m],C[1~n])//将A和B合并为C，n=l+m
      <保证l>m>
      case of merging>
      使用二分查找j使得B[j]<=A[l/2]<=B[j+1]
      spawn P-Merge(A[1~l/2],B[1~j],C[1~l/2+j])
      spawn P-Merge(A[l/2+1~l],B[j+1~m],C[l/2+j+1~n])
      sync

  • 算法分析：