MIT算法导论公开课第七讲哈希表

     哈希表又称散列表，其定义是根据一个哈希函数将集合S中的关键字映射到一个表中，这个表就称为哈希表，而这种方法就称为Hashing。从作用上来讲，构建哈希表的目的是把搜索的时间复杂度降低到O（1），考虑到一个长度为n的序列，如果依次去比较进行搜索的话，时间复杂度是θ（n），或者对其先进行排序然后再搜索会更快一些，但这两种方法都不是最快的方法。

一、直接寻址表

      直接寻址表就是一个数组。每个数存在相应的下标内，当关键字的全域U比较小时，直接寻址是一种简单而有效的技术。比如，如果全域为U={0，1，…,m-1}。则可以使用长度为m的数组：

二、哈希表

直接寻址技术的缺点很明显：如果全域U很大，则存储大小为|U|的数组是不切实际的，而且如果实际存储的关键字集合K相对于全域U来说很小的时候，会造成巨大的浪费。此时采用散列表。

在直接寻址方式下，具有关键字k的元素存放在索引为k的位置中，在哈希表中，该元素存放在h(k)中。h()就是一个散列函数。它将关键字的全域U映射到散列表T[0..M-1]的槽位上：

这里会存在所谓“冲突”的问题：两个关键字可能被映射到同一个槽位中。由于全域|U|>M，所以冲突是无法避免的。一个好的哈希函数产生的键值应该尽可能的均匀，这样可以减少产生冲突的次数；但是无论是何种哈希函数也不可能完全解决冲突问题，所以还应该寻找解决冲突的方法。

哈希函数

除法散列法：散列函数为h(k) = k mod m。其中m为散列表的槽位数，使用除数散列法的时候，对于m的选择要慎重。比如m不应该是2的幂。否则如果m = ，则h(k)就是k的p个最低位数字（二进制）。除非已经知道关键字的最低p位数的排列是等可能的，否则在设计散列函数时，应该考虑关键字的所有位。一个不太接近2的整数幂的素数是m个一个比较好的选择。

乘法散列法：  假设所有的key都是整数，m=2^r ，计算机字长是w，那么构建h（k）=(A*k mod 2^w) rsh (w-r) 其中rsh是右移的意思，A的大小是2^（w-1）

 实际工作中需要根据不同的情况采用不同的哈希函数。通常，考虑的因素有：

 计算哈希函数所需的时间；

 关键字的长度；

 哈希表的大小；

 关键字的分布情况；

 记录的查找频率。

解决冲突的方法

1.链接法解决冲突。

解决冲突的比较简单的方法就是链接法。它是把散列到同一个槽位的所有元素都放在一个链表中，然后数组中存放指针指向这个链表，如下图：

在最坏的情况下，也就是所有的h（k）都指向了同一个槽，那么哈希表实际上就是一个链表，在链表中查询一个值的时间复杂度是θ（n），在最好的情况下，没有发生碰撞那么时间为θ（1）。给定一个具有m个槽位，存储了n个元素的哈希表T，定义α=n/m为哈希表T的装载因子（即每个链表平均长度），一次成功的搜索平均用时θ（1+α/2）1表示计算H的时间，α/2表示在链表中所用的平均时间，所以如果n=O（m）那么α就是常数，在这个哈希表中搜索的时间就为θ（1），同时，考虑平均情况下的最坏情况的搜索，时间为θ（1+α）。由于插入操作首先需要调用CHAINED-HASH-SEARCH确认元素x的关键值未曾出现在表中，然后用O(1)时间将x插入到链表T[h(key[x])]中，所以期望的时间是O(1)。相仿地，删除操作对双向拉链表平均情形时间也是O(1)，所以所有的字典操作可以在O(1)的平均时间内得到支持。

2.开放寻址法

   开放寻址法是另外一种处理冲突的方法。在该方法中，所有的元素都存放在哈希表中。当查找某个元素的时候，需要系统的检查所有的表项，直到找到所需的元素，或者最终查明该元素不在表中。因此，在开放寻址法中，哈希表有可能会被填满，因而装载因子α <=  1。

开放寻址法就是发生冲突时，采取某种探查方法，寻找下一个槽，如果下一个槽仍然有数，那么就继续探查，知道找到一个空的槽。常用的探查方法有:

1.线性探查。h(k,i) = (h’(k) + i) mod m, i = 0,1,…,m-1。给定一个关键字k，首先探查槽位h’(k)，然后是h’(k) + 1，以此类推，直到最后的h’(k)-1。在线性探查中，初始探查位置决定了整个序列，所以有m种不同的探查序列。

       线性探查有个缺点，就是一次群集。当表中i，i+1，i+2位置上都已经填满时，下一个哈希地址为i，i+1，i+2，i+3的关键字记录都将竞争i+3的位置。随着连续被占用的槽位不断增加，平均查找时间也不断增加。

2.二次探查。 h(k,i) = (h’(k) + i + ) mod m,      i = 0,1,…,m-1 。二次探查即每次以平方的形式向后查找，知道找到空的槽。这种探查的效果要比线性探查好。但是，如果两个关键字的初始探查位置相同，那它们的探查序列也是相同的，这一性质会导致二次群集。类似于线性探查，二次探查也仅有m个不同的探查序列。
3.双重哈希探查。 。
4.伪随机序列探查。 双重散列是开放寻址法中的最好方法之一，不像线性和二次探查，双重探查的的探查序列以两种不同的方式依赖于关键字k。为了能使探查序列查找到整个表，值必须与m互素。有两种方法：

 m为2的幂，而 总产生奇数；

 取m为素数， 则总是产生比m小的正整数。

 双重探查法用到了 种探查序列。

在开放寻址哈希中，对于装载因子α,并假设是均匀散列，至多需要做1/(1-α)次探查。

参考：

《算法导论》

http://blog.csdn.net/gqtcgq/article/details/45289419

http://blog.csdn.net/persever/article/details/45773663