算法导论 思考题9-2

9-2 (带权中位数)对分别具体以正权重$w_1,w_2,\cdots ,w_n$,且满足${\sum }_{i=1}^n{w}_i=1$的$n$个互异的元素$x_1,x_2,\cdots ,x_n$来说，带权中位数$x_k$(较小中位数)是满足如下条件的元素：

$$\sum _{x_i<x_k}{w}_i<\frac{1}{2}和\sum _{x_i>x_k}{w}_i\le \frac{1}{2}$$

例如，如果元素是$0.1,0.35,0.05,0.1,0.15,0.05,0.2$，并且每个元素的权重等于本身(即对所有$i=1,2,\cdots ,7都有w_i=x_i$)，那么中位数是0.1，而带全中位数是0.2。

a.  证明：如果对所有$i=1,2,\cdots ,n$都有$w_i=1/n$，那么$x_1,x_2,\cdots ,x_n$的中位数就是$x_i$的带权中位数。

证明：$x_i,x_2,\cdots ,n$的中位数（题目给的是低中位数）是$x_k=x$那么就有：

$$\begin{array}{rl}|\{x_i|1\le i\le n,x_i<x\}|& <n/2\\ |\{x_i|1\le i\le n,x_i>x\}|& \le n/2\end{array}$$
这里解释下:

第1个式子是小于中位数的个数，因为是低中位数，无论集合是奇数偶数个都是小于$n/2$；

第2个式子是大于中位数的个数，当集合个数是奇数是，也是小于$n/2$，当集合个数为偶数时，等号成立。

同时因为每一个元素的权值都是置为$1/n$，那么就有：
$$\begin{array}{rl}\sum _{x_i<x}{w}_i& =\sum _{x_i<x}\frac{1}{n}\\ & =\frac{1}{n}\cdot \sum _{x_i<x}1\\ & =\frac{1}{n}\cdot |\{x_i|1\le i\le n,x_i<x\}|\\ & <\frac{1}{n}\cdot \frac{n}{2}\\ & =\frac{1}{2}\end{array}$$
满足带权中位数的第一个条件。同理，我们有：

$$\begin{array}{rl}\sum _{x_i>x}{w}_i& =\sum _{x_i>x}\frac{1}{n}\\ & =\frac{1}{n}\cdot \sum _{x_i>x}1\\ & =\frac{1}{n}\cdot |\{x_i|1\le i\le n,x_i>x\}|\\ & \le \frac{1}{n}\cdot \frac{n}{2}\\ & =\frac{1}{2}\end{array}$$

第二个条件得证。因此当集合X的每个元素的权重都是$1/n$时，$x_1,x_2,\cdots ,x_n$的中位数$x_k=x$，同时也是带权中位数。

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b.  利用排序，设计一个最坏情况下$O(nlgn)$时间的算法，可以得到$n$个元素的带权中位数。

Step1、可以对元素$x_1,x_2,\cdots ,x_n$采用归并排序或者堆排序算法来升序排序。

Step2、然后从最小$x_1$开始，从左往右遍历每一个，将权值累加起来，当权值超过$1/2$，那么最后一个导致超过$1/2$的元素就是带权中位数。

Step1时间复杂度为$O(nlgn)$，Step2时间复杂度为$O(n)$。满足题目要求。

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c. 说明如何利用像9.3节的SELECT这样的线性时间中位数算法，在$\Theta (n)$最坏情况时间内求出带权中位数。

线性时间查找带权中位数的思想是二分查找。算法工作流程如下:

1、问题规模$n\le 2$，可以在$O(1)$情况下暴力解决。

2、问题规模$n>2$时，我们先找到集合$X$的中位数$x_k=x$，将集合$X$用$x_k$划分为两个集合，下面称为$L=\{x_i|1\le i\le n,x_i<x\}$和$G=\{x_i|1\le i\le n,x_i>x\}$,然后计算$W_L$和$W_G$（两部分的权重）。根据$W_G$和$W_G$的权重情况，可以分为3种情况处理：

$$\{\begin{array}{ll}a、x_k即为带权中位数& W_L<1/2and{W}_G<1/2\\ b、在集合L中查找& W_L>1/2\\ c、在集合G中查找& W_G>1/2\end{array}$$

在处理b、c情况时，我们为了避免下一次划分时重复计算$W_L$和$W_G$，对于情况b：我们可以将$w_k=w_k+W_G$，然后将$x_k$加入下一步要进行查找的集合$L$中。

下面时该算法的伪代码：

WEIGHTED-MEDIUM(X)
    //规模小于等于2，O(1)解决
    if X.size = 1
        return x[1]
    elseif x.size = 2
        if w[1]>=w[2]
            return x1
        else
            return x2
    //规模 >2，取中位数，二分递归进行
    else
        find the Medium x[k] in X[1,..,n]
        partition the set X by x[k] into L,G
        computer WL=sum of w[i] in the set L
                 WG=sum of w[i] in the set G
        if WL<1/2 and WG < 1/2
            return x[k]
        elseif WL > 1/2
            w[k]=w[k]+WG
            X'<--{x[i] in X | x[i] <= x[k]}
            return WEIGHT-MEDIUM(X')
        else
            w[k]=w[k]+WL
            X'<--{x[i] in X | x[i] >= x[k]}
            return WEIGHTED-MEDIUM(X')

算法分析：在对数组的每一次递归过程中，取中位数$x_k$，划分集合X和计算$W_L,W_R$的时间复杂度均为$O(n)$。最差情况下满足以下递归式：
$$T(n)=T(n/2+1)+\Theta (n)$$

下一次递归，划分的集合是原来的一半元素，同时还有$x_k$，因此为$T(2n+1)$。
这个递归式和快速选择(线性选择算法)的递推式接近，该算法的时间复杂度$T(n)=\Theta (n)$。

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邮局位置问题的定义如下，给定权重分别为$w_1,w_2,\cdots ,w_n$的$n$个点$p_1,p_2,\cdots ,p_n$，我们希望找到一个点$p$(不一定是输入点中的一个)，使得${\sum }_{i=1}^n{w}_{i}d(p,p_i)$最小，这里$d(a,b)$表示点$a$和$b$之间的距离。

d. 证明：对一维邮局位置问题，带权中位数是最好的解决方法，其中，每个点都是一个实数，点$a$和$b$之间的距离是$d(a,b)=|a-b|$。

 采用$x_1,x_2,\cdots ,x_n$表示$n$个点的坐标，每个点相应的权值为$w_1,w_2,\cdots ,w_n$，令$x=x_k$为带权中位数。

 对于任意点$p$，我们设函数$f(p)={\sum }_{i=1}^n{w}_i|p-x_i|$，我们需要找出令该函数最小值的点。令$y$是除$x$外的任意点，我们通过证明$f(y)-f(x)\ge 0$来检验带权中位数$x$是最优解。我们可以分为下面两种情况来讨论：$y>x$和 $x>y$。对于$\forall x,y$有：

$$\begin{array}{rl}f(y)-f(x)& =\sum _{i=1}^n{w}_i|y-x_i|-\sum _{i=1}^n{w}_i|x-x_i|\\ & =\sum _{i=1}^n{w}_i(|y-x_i|-|x-x_i|)\end{array}$$

1、 当$y>x$时，对于上面式子中的$|y-x_i|-|x-x_i|$可以分为三种情况：

 1.1、$x<y\le x_i$

$$\frac{|y-x|+|y-x_i|=|x-x_i|AND|y-x|=y-x}{\to |y-x_i|-|x-x_i|=-|y-x|=x-y}$$

 1.2、$x<x_i\le y$

$$\frac{|y-x_i|\ge 0AND|x-x_i|\le y-x}{\to |y-x_i|-|x-x_i|\ge -(y-x)=x-y}$$

 1.3、$x_i\le x<y$，类似1.1
$$\frac{|x-x_i|+|y-x|=|y-x_i|AND|y-x|=y-x}{\to |y-x_i|-|x-x_i|=|y-x|=y-x}$$

解释一下上面这么写的原因，如：1.1，$d(x,x_i)==d(x,y)+d(y,x_i)$，绝对值内的减法理解为距离计算，配凑出与我们要求的式子，进行等价转换，后面方便处理。

其实对于1.1和1.3我们简单根据正负情况消去绝对值符号也行。

 将前两种情况($x<x_i$)与第三种情况分开($x_i\le x$)。。我们有：
$$\begin{array}{rl}f(y)-f(x)& =\sum _{i=1}^n{w}_i(|y-x_i|-|x-x_i|)\\ & \ge \sum _{x<x_i}{w}_i(x-y)+\sum _{x\ge x_i}{w}_i(y-x)\\ & =(y-x)\left(\sum _{x\ge x_i}{w}_i-\sum _{x<x_i}{w}_i\right)\end{array}$$

结合$x_k$的性质，我们有：

$$\begin{array}{rl}\sum _{x_i<x}{w}_i<1/2implies& \sum _{x_i\le x}{w}_i\ge 1/2\\ 和\sum _{x_i>x}{w}_i& \le 1/2\\ \therefore \sum _{x\ge x_i}{w}_i-\sum _{x<x_i}{w}_i& \ge 0\end{array}$$
又$\because y-x>0$，$\therefore f(y)-f(x)\ge 0$

2、当$x>y$时，我们同样将$|y-x_i|-|x-x_i|$分为下面三种情况：

 2.1、$x_i\le y<x$

$$\frac{|y-x_i|+|x-y|=|x-x_i|AND|x-y|=x-y}{\to |y-x_i|-|x-x_i|=-|x-y|=y-x}$$

 2.2、$y\le x_i<x$
$$\frac{|y-x_i\ge 0|AND|x_{-}{x}_i|\le x-y}{\to |y-x_i|-|x-x_i|\ge -(x-y)=y-x}$$

 2.3、$y<x\le x_i$,类似情况1

$$\frac{|x-y|+|x-x_i|=|y-x_i|AND|x-y|=x-y}{\to |y-x_i|-|x-x_i|=|x-y|=x-y}$$

 和之前处理一样，分为前两种情况为$x_i<x$，第三种情况为$x\le x_i$，我们有：

$$\begin{array}{rl}f(y)-f(x)& =\sum _{i=1}^n{w}_i(|y-x_i|-|x-x_i|)\\ & \ge \sum _{x_i<x}{w}_i(y-x)+\sum _{x\le x_i}{w}_i(x-y)\\ & =(y-x)\left(\sum _{x_i<x}{w}_i-\sum _{x\le x_i}{w}_i\right)\end{array}$$

同上，$\because x$是带权中位数，有:
$$\begin{array}{rl}\sum _{x_i<x}{w}_i& <1/2\\ 和\sum _{x_i>x}{w}_i\le 1/2& implies\sum _{x_i\ge x}{w}_i>1/2\\ \therefore \sum _{x_i<x}{w}_i-\sum _{x\le x_i}{w}_i& >0\end{array}$$

又 $\because y-x>0\therefore f(y)-f(x)>0$。

综上：
$$f(y)-f(x)\{\begin{array}{ll}\ge 0& y>x\\ >0& x>y\end{array}$$
因此，带权中位数$x=x_k$是一维邮局问题的最优解,得证。

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e. 请给出二位邮局位置问题的最好解决方法：其中的点是$(x,y)$的二位坐标形式，点$a=(x_1,y_1)$与$b=(x_2,y_2)$之间的距离是$Manhattan$距离(曼哈顿距离/出租车距离/街区距离)，即$d(a,b)=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$

 我们采用一对坐标来表示每个点$p_i=(x_i,y_i)$，同时每个点相应的权值为$w_i$。因此，我们的目标转变为找到一个点$p=(x,y)$使下面的函数达到最小值：

$$f(x,y)=\sum _{i=1}^n{w}_i(|x-x_i|+|y-y_i|)$$

 我们可以将函数$f(x,y)$转变为两个等价的一元函数相加:

$$\begin{array}{rl}f(x,y)& =g(x)+h(y)\\ 其中，g(x)& =\sum _{i=1}^n{w}_i|x-x_i|\\ h(y)& =\sum _{i=1}^n{w}_i|y-y_i|\end{array}$$

我们要使$f(x,y)$取得最小值，可以单独的对每一维度进行处理，因为$g(x)$不依赖于变量$y，h(y)$不依赖于变量$x$。因此：

$$\begin{array}{rl}\underset{x,y}{\min }f(x,y)& =\underset{x,y}{\min }(g(x)+h(y))\\ & =\underset{x}{\min }\left(\underset{y}{\min }(g(x)+h(y))\right)\\ & =\underset{x}{\min }\left(g(x)+\underset{y}{\min }h(y)\right)\\ & =\underset{x}{\min }g(x)+\underset{y}{\min }h(y)\end{array}$$

 原先的二维问题，现在问题就转变为求2个一维最优解问题。和我们上面问题$d$一样，因此，我们只要分别求$x、y$维度上的带权中位数，设为$x_k,y_k$。最终答案记为$(x_k,y_k)$。