算法设计与分析课程复习笔记13——最大网络流

算法设计与分析课程复习笔记13——最大网络流

最大网络流

问题

• 公路物流。边：公路，顶点：城市
• 管道流体。边：管道，顶点：管道接头
• 数据通讯网络。边：网络线，顶点：路由器

概念：源点s，汇点t，除源点和汇点外, 其他顶点的流入和流出相等
目标:从源点到汇点的最大流量

正式描述：
网络流图G=(V,E)
边的容量c(u,v) $\ge$ 0
特殊顶点：源点s，汇点t
在源点和汇点之间，有经过一些中间顶点v的通路s→……→v→……→t
流函数：
容量约束，f(u,v) $\le$ c(u,v)
斜对称，f(u,v)=-f(v,u）
流守恒，$\sum _{v\in V}f(u,v)=f(u,V)=0$或$\sum _{v\in V}f(v,u)=f(V,u)=0$

流的抵消
在两个顶点间不需要相向对流，因为可以抵消，而斜对称性只是为了符号方便性。

最大流问题

$|f|=\sum _{v\in V}f(s,v)=f(s,V)=f(V,t)$

Ford-Fulkerson方法
思想：不断地增大流，直到达到流的最大值
通过剩余流和剩余流图实现

剩余流：$c_f(u,v)$f=c(u,v)-f(u,v)
剩余流图：$G_f(V,E_f)$,$E_f=(u,v)\in V\ast V:c_f(u,v)>0$
(|$E_f$| $\le$ 2|E|：因为在剩余网络流图$E_f$中的边要么在E中, 要么反向)

增流通路

• 增流通路p是剩余图中从源点s到汇点t的一条通路
• 通过增流通路p,可以提高网络中的流, 即存在a > 0, 对于p上的边(u,v), 有f(u,v) + a $\le$ c(u,v)

Ford-Fulkerson(G,s,t)
　initialize flow f to 0
　while there exists an augmenting path p
　　do augment flow f along p
　return f

不再有增流通路时，达到最大流

切割
一个切割将V分割成S，和T=V-S，使得s ∈ S，t ∈ T
流经切割的网络流f(S,T)是所有边(u,v), u ∈ S,v ∈ T的流f(u,v)之和
切割的网络流容量c(S,T)是所有边(u,v), u ∈ S, v ∈ T的流容量c(u,v)之和

引理：对于任何切割(S,T)和流f, 有f(S,T)=|f|
推论：网络流图G中的任意流f以任何切割的流容量为上限

最大流最小切割定理
对于网络流图
G=(V,E), s是源点, t是汇点, f是G中的流, 下面三个语句是等价的:
1. f是G中的最大流
2. 剩余流图$G_f$中不再有增流通路
3. 存在一个切割(S,T), |f| = c(S,T)

基本FordFulkerson算法
FordFulkerson(G,s,t)
　for each edge (u,v) ∈ E(G)
　　do f[u,v] ← 0
　　　 f[v,u] ← 0
　while there exists a path p from s to t in the residual network $G_f$
　　do $c_f(p)$ ← min{$c_f(u,v)$:(u,v) is in p}
　　　for each edge (u,v) in p
　　　　do f[u,v] ← f[u,v] + $c_f(p)$
　　　　　 f[v,u] ← -f[u,v]

example：








分析：

• 如果容量为整数，|f|每次增流$\ge$ 1
• 如果最大流为f*，那么增流次数$\le$|f*|,时间开销$O(E|f\ast |)$
• 时间开销不是输入规模的多项式, 与|f*|有关, 不是|V|或|E|的函数
• 如果容量是有理数, 可以换算为整数
• 如果是无理数, 有可能不会终止

缺陷：如果出现以下情况，则需要重复999999次

E-K算法
先回顾FordFulkerson算法：
FordFulkerson(G,s,t)
1　for each edge (u,v) ∈ E(G)
2　　do f[u,v] ← 0
3　　　 f[v,u] ← 0
4　while there exists a path p from s to t in the residual network $G_f$
5　　do $c_f(p)$ ← min{$c_f(u,v)$:(u,v) is in p}
6　　　for each edge (u,v) in p
7　　　　do f[u,v] ← f[u,v] + $c_f(p)$
8　　　　　 f[v,u] ← -f[u,v]

E-K算法在FF算法的基础上进行修改，在剩余图中用广度优先搜索来计算第4行
增流通路p是剩余图中从s到t的最短路通路
运行开销：$O(V{E}^2)$（因为增流通路$O(VE)$)

更多的改进算法

• Push-relabel algorithm $O(V^{2}E)$
• The relabel-to-front algorithm $O(V^3)$
• The scaling Max-Flow algorithm $O(E^{2}logC)$,C为最大整数容量

最大二分图匹配
二分图G=(V,E)
V分成L和R，E中任意边的顶点分别在L和R中

匹配是E的一个子集M，对于V中的任何顶点v,M中至多有一条边以它为顶点
最大匹配即具有最大的势的匹配

最大匹配求解

• 转换为最大流问题
• 用F-F方法求解

从二分图G生成相应的网络流图G‘

• 增添源点s和从s到L的边
• 保持原来的E
• 增添汇点t和从R到t的边
• 边的容量为1

G’的最大流对应G的最大匹配

参考：任课教师邱德红教授的课件