定解问题（二）| 定解条件 - 初始条件、边界条件（I、II、III） | 偏微分方程（六）

定解条件

背景：在建立方程的过程中，仅考虑了系统内部各部分间的相互作用，以及外界对系统内部的作用。而一个确定的物理过程还要受到历史情况的影响和周围环境通过边界对运动的制约。

泛定方程：反映系统内部作用导出的偏微分方程

定解条件：确定运动的制约条件。

1. 初始条件（历史情况的影响）

2. 边界条件（周围环境对边界的影响）

   第I类边界条件（给顶端点值）：$u{|}_{x=x_i}={\mu }_i(t)$

   第II类边界条件（给定端点梯度）：$\frac{\partial u}{\partial n}{|}_{x=x_i}=f_i(t)$

   第III类边界条件（混合I&II）：$[a_{i}u+{\beta }_i\frac{\partial u}{\partial n}{]}_{x=x_i}=F_i(t)$

3. 衔接条件（系统内部边界）

定解问题：泛定方程配以适当的定解条件构成一个偏微分方程

1.初始条件

对于随着时间发展变化的物理过程，某一时刻的状态将影响该时刻以后的过程，该时刻的状态便是初始条件。如弦振动问题中，影响弦今后运动的条件有两个
$$\begin{gathered} 初位移u{|}_{t=0}=\psi (x) \\ 初速度\frac{\partial u}{\partial t}{|}_{t=0}=\psi (x) \end{gathered}$$
在热传导问题中，影响今后温度变化的则是初始时刻的温度分布
$$u{|}_{t=0}=\psi (x)$$
从数学上讲，初始条件是给出未知函数u及其关于某个自变量t的若干阶偏导函数在同一时刻$t=t_0$的值。如果方程中关于t的最高阶导数是m阶的，则应给出$u,\frac{\partial u}{\partial t},...,\frac{{\partial }^{m-1}u}{\partial t^{m-1}}$在$t=t_0$的值。

2.边界条件

在弦振动问题中，对一条有限长的弦($x_1\le x\le x_2$)，端点$x=x_1,x=x_2$的运动状态对整根弦的运动有制约。以左端点$x=x_1$为例，最简单的情况是端点运动状态已知，即
$$u{|}_{x=x_1}=u_1(t)$$
称为第I类边界条件（给定端点值）。当端点固定在平衡位置时，${\mu }_1(t)\equiv 0$，称为第I类齐次边界条件。

如果端点负荷已知，$x=x_1$点受横向外力$F_1(t)=F_1(t){\mathbf{u}}^{。}$。如图所示，在左端点取微元$[x_1,x_1+dx]$，在${\mathbf{u}}^{。}$方向该微元满足牛顿第二定律
$$\begin{gathered} \rho dx\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}{|}_{x=x_1}=F_1(t)+Tsin\theta {|}_{x_1+dx} \\ =F_1(t)+T\frac{\partial u}{\partial x}{|}_{x_1+dx} \\ =F_1(t)+T\frac{\partial u}{\partial x}{|}_{x=x_1}+T\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}dx \end{gathered}$$
又有波动方程得，上式方程化简为
$$0=F_1(t)+T\frac{\partial u}{\partial x}{|}_{x_1}$$
得边界条件
$$\frac{\partial u}{\partial x}{|}_{x_1}=-\frac{F_1(t)}{T}$$
这里给出的是$\frac{\partial u}{\partial x}$在端点的值，称为第II类边界条件（端点的受力已知，给定端点处的梯度）。

类推得

$$\frac{\partial u}{\partial n}{|}_{x_i}=f_i(t),i=1,2$$

如果端点弹性支撑，即端点除负荷${\mathbf{F}}_1(t)=F_1(t){\mathbf{u}}^{。}$外，还有弹性力$P=-ku(t,x_1){\mathbf{u}}^{。}$，k为弹性系数，则端点的运动需满足。
$$\frac{\partial u}{\partial x}{|}_{x_1}=-\frac{F_1(t)-ku(t,x_1)}{T}$$
即混合边界条件为
$$[ku-T\frac{\partial u}{\partial x}{]}_{x_1}=F_1(t)$$
此边界条件以$u$和$\frac{\partial u}{\partial x}$的线性组合给出，称为第III类边界条件（端点弹性支撑）。如果非弹性负荷$F_1(t)\equiv 0$，则为第III类齐次边界条件。

对于右端点$x=x_2$，可同样导出这三类边界条件，与左端点不同的是在$\frac{\partial u}{\partial x}$项前添负号。如果用$\mathbf{n}$表示端点的外法向，则左右两端的三类边界条件可统一表示为$u$和$\frac{\partial u}{\partial n}$的线性组合
$$x[a_{i}u+{\beta }_i\frac{\partial u}{\partial n}{]}_{x_i}=F_i(t),i=1,2$$
边界条件：三维热传导问题

第I类边界条件（当物体边界温度已知时）：
$$u(t,x,y,z){|}_{\partial V}=\mu (t,x,y,z){|}_{\partial V}$$
当边界温度保持零度时，得第I类齐次边界条件。

当边界上沿外法向$\mathbf{n}$的热流密度$q(t,x,y,z)$已知时，由热传导定律导出第II类边界条件
$$\frac{\partial u}{\partial n}{|}_{\partial V}=-\frac{q(t,x,y,z)}{k}{|}_{\partial V}$$
其中，k为热传导系数。常见的边界绝热情况，相应于第II类齐次边界条件。

如果物体通过边界与外界自由热交换，在边界面上(x,y,z)处取小面元$ds$，在时间段$[t,t+dt]$内从物体内部流入面元$ds$的热量为
$$Q_{in}=-k\frac{\partial u}{\partial n}{|}_{(t,x,y,z)}dsdt$$
根据牛顿冷却定律（冷却速率与该温度与温室的温差成正比），从外部流入面元的热量为
$$Q_{out}=h(T_{outside}-u){|}_{(t,x,y,z)}dsdt$$
h为两种物质间的热交换系数，$T_{outside}=T_{outside}(x,y,z,t)$为外界的温度

能量守恒定律决定了热量不能在面元上积聚，从而有
$$-k\frac{\partial u}{\partial n}{|}_{\partial V}dsdt+h(T_{outside}-u){|}_{\partial V}dsdt=0$$

$$[hu+k\frac{\partial u}{\partial n}{]}_{\partial V}=h{T}_{outside}{|}_{\partial V}$$

当外界温度为0时，为第III此齐次边界条件。

在静电场问题中，最常见的是边界接地的情况，此时电位满足第I类齐次边界条件$u{|}_{\partial V}=0$.