Khan公开课 - 统计学学习笔记：（十）Chi-square分布

χ²分布

随机变量X是独立的标准正态分布变量，X～N（0，1），即E(X)=0, Var(X)=1。

Q₁=X₁²，Q₁是一个Chi-Square分布，记为，degree of freedom is 1

Q₂=X₁²+ X₂²，Q₂是一个Chi-Square分布，记为 ，degree of freedom is 2

以此类推。图为Chi-Square的分布图。有χ table可供查询，例如P(Q₂>2.41) = 0.3

皮尔逊χ²分布检验：Pearson’s chi-squared test

实际观察次数O与某理论次数(E又称期望次数)之差的平方再除以理论次数乃是一个与抽样分布之一的χ²分布非常近似的次数分布。

而自由度则是不相干事件得数目。

如同n足够大是，二项分布和正态分布非常吻合一样，这里也不做理解证明，由法国数学家Pearson给出，就当给了个工具，我们相信工具有效，来使用工具，常用于检查出现频率。

例子1：一维χ²检验

已知从周一到周六，顾客的分布比例为10%、10%、15%、20%、30%、15%，而观察值顾客数为30、14、34、45、57、20，问在significance level α=5%下，这个比例是否正确。

H₀：比例正确；H₁：比例不正确

自由度是多少，有6个参数，但是自由度是n-1=5，因为只要知道5个，第6个参数是可以计算出来的。查χ表，自由度5的行，α=5%时，χ_c²=11.07，根据实际观察计算的值比所查值更为极端，所有拒绝给出分布比例H₀

例子2：二维列联表χ²检验

检验可能是二维表的方式，例如顾客中又分了男女，由于最后一行和最后一列都可以由其他信息获得，不是独立变量，自由度为(m-1)(n-1)。列联表也成为contingency table。下面例子是某个发病季节检验草药在significance level α=10%是否有效。

根据上面的情况我们进行信息补充：

H₀：Herb do nothing; H₁: Herbs do something

2行3列，自由度为（2-1）（3-1）=2，查chi table，α=5%时χ_c²=4.5，所有我们不能拒绝H₀，即不能认为草药有作用。

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