关于微分方程的初值条件和边界条件（狄里克雷(Dirichlet)条件、诺依曼(Neumann)条件、洛平(Robin)条件）

在有限元仿真运算时，经常碰到的是对PDE方程的求解，常用的仿真软件如COMSOL、ANSYS、ABAQUS的均是对PDE方程的工具。要使求解PDE方程有确定的解，就需要引入一定的条件——定解条件，有时也被称为单值性条件。为了确定方程的解，就必须提供足够的初始条件和边界条件。

    （1）初值条件

如果方程要求未知量y(x)及其导数y'(x)在自变量的同一点x=x0取给定的值，即y(x0)=y0，y'(x0)= y0'，则这种条件就称为初始条件，由方程和初始条件构成的问题就称为初值问题；

    （2）边界条件

而在许多实际问题中，往往要求微分方程的解在在某个给定的区间a ≤ x ≤b的端点满足一定的条件，如y(a) = A , y(b) = B,则给出的在端点(边界点)的值的条件，称为边界条件

以下详细介绍边界条件。边值问题中的边界条件的形式多种多样，在端点处大体上可以写成这样的形式，Ay+By'=C:

• 若B=0，A≠0,则称为第一类边界条件或狄里克雷(Dirichlet)条件，给出未知函数在边界上的数值；
• 若B≠0，A=0，称为第二类边界条件或诺依曼(Neumann)条件，给出未知函数在边界外法线的方向导数；
• 若A≠0，B≠0，则称为第三类边界条件或洛平(Robin)条件，给出未知函数在边界上的函数值和外法向导数的线性组合。

我现在使用的仿真软件是多物理场仿真COMSOL,在COMSOL中只有两种边界条件：

• Dirichlet boundary（第一类边界条件），在端点，待求变量的值被指定。
• Neumann boundary（第二类边界条件），此类条件经常以Flux的形式给出，待求变量边界外法线的方向导数被指定。