关于微分方程的初值条件和边界条件(狄里克雷(Dirichlet)条件、诺依曼(Neumann)条件、洛平(Robin)条件)

在有限元仿真运算时,经常碰到的是对PDE方程的求解,常用的仿真软件如COMSOL、ANSYS、ABAQUS的均是对PDE方程的工具。要使求解PDE方程有确定的解,就需要引入一定的条件——定解条件,有时也被称为单值性条件。为了确定方程的解,就必须提供足够的初始条件和边界条件。

    (1)初值条件

如果方程要求未知量y(x)及其导数y'(x)在自变量的同一点x=x0取给定的值,即y(x0)=y0,y'(x0)= y0',则这种条件就称为初始条件,由方程和初始条件构成的问题就称为初值问题;

    (2)边界条件

而在许多实际问题中,往往要求微分方程的解在在某个给定的区间a ≤ x ≤b的端点满足一定的条件,如y(a) = A , y(b) = B,则给出的在端点(边界点)的值的条件,称为边界条件

以下详细介绍边界条件。边值问题中的边界条件的形式多种多样,在端点处大体上可以写成这样的形式,Ay+By'=C:

  • 若B=0,A≠0,则称为第一类边界条件或狄里克雷(Dirichlet)条件,给出未知函数在边界上的数值;
  • 若B≠0,A=0,称为第二类边界条件或诺依曼(Neumann)条件,给出未知函数在边界外法线的方向导数;
  • 若A≠0,B≠0,则称为第三类边界条件或洛平(Robin)条件,给出未知函数在边界上的函数值和外法向导数的线性组合。

我现在使用的仿真软件是多物理场仿真COMSOL,在COMSOL中只有两种边界条件:

  • Dirichlet boundary(第一类边界条件),在端点,待求变量的值被指定。
  • Neumann boundary(第二类边界条件),此类条件经常以Flux的形式给出,待求变量边界外法线的方向导数被指定。

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