牛顿插值
牛顿插值公式
一、均差
问题的背景：利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数lk(x)(k=0,1,…,n)均要随之变化，整个公式也将发生变化， 这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。
先引进均差的概念。
设函数f(x)在n+1个相异的点x0 ,x1 ,…xn上的函数值分别为:
f(x0 ),f(x1 ),…,f(xn ),
或者记为
y0 ,y1 ,…,yn
1. 一阶均差：称为f(x)关于节点x0 ,x1的一阶均差, 记为f[x0 ,x1 ]。
2. 二阶均差:一阶均差f[x0 ,x1 ],f[x1 ,x2 ]的均差
称为f(x)关于节点x0 ,x1 ,x2的二阶均差，记为:f[x0 ,x1 ,x2 ]。
3. n阶均差：递归地用n-1阶均差来定义n阶均差，
称为f(x)关于n+1个节点x0 ,x1 ,…，xn 的均差。
二、均差的性质
1. 性质1:n阶均差可以表示成n+1个函数值y0 ,y1 ,…,yn 的线性组合, 即:
例:
2. 性质2(对称性) 均差与节点的顺序无关:
f[x0 ,x1 ] =f[x1 ,x0 ] ，
f[x0 ,x1 ,x2 ]=f[x1 ,x0,x2 ]=f[x0 ,x2 ,x1 ]
这一点可以从性质1看出。
3. 性质3 若f(x)是x的n次多项式, 则一阶均差f[x,x0]是x的n-1次多项式,二阶均差f[x,x0,x1]是x的n-2次多项式;一般地,函数f(x)的k阶均差f[x,x0,…,xk-1 ]是x的n-k次多项式(k≤n), 而k>n时, k阶均差为零。
三、利用均差表计算均差
利用均差的递推定义,可以用递推来计算均差。如下表：
如要计算四阶均差,应再增加一个节点,表中还要增加一行。
例1:已知
xi 1 3 4 7
f(xi ) 0 2 15 12
计算三阶均差f[1,3,4,7]。
解：列表计算
xi f(xi ) 一阶均差 二阶均差 三阶均差
1 0
3 2 1
4 15 13 4
7 12 -1 -3.5 -1.25
四、牛顿插值公式
1. 牛顿插值公式的构造
因为:
所以
因为:
所以
因为:
所以
一般地,
将(n式)代入(n-1式), ...,(2式)代入(1式),(1式)代入(0式),得:
最后一项中,均差部分含有x,乃是余项部分,记作Rn(x);而前面n+1项中,均差部分都不含有x,因而前面n+1项是关于x的n次多项式,记作Nn(x),这就是牛顿插值公式。于是,上式成为
f(x)=Nn(x)+Rn(x) 。
例如:当n=1时,
其中
这就是牛顿一次插值多项式，也就是点斜式直线方程。
当n=2时,
其中
这就是牛顿二次插值多项式。显然,N2(x0 )=f(x0 ),
即N2(x)满足二次插值条件。
例2 已知
求满足以上插值条件的牛顿型插值多项式。
解 在例1中, 我们已计算出:
则牛顿三次插值多项式为:
例3 已知f(x)在六个点的函数值如下表，运用牛顿型插值多项式
求f(0.596)的近似值。
欲求N4(x) ,只需在N3(x)之后再加一项:
故
N4(0.596)=0.6319145+0.0000034=0.6319179 。
2.拉格朗日插值与牛顿插值的比较
(1)Pn(x)和Nn(x)均是n次多项式, 且均满足插值条件:
P(xk )=Nn(xk )=f(xk ),k=0,1,2,…,n 。
由多项式的唯一性,Pn(x)≡Nn(x) ,因而,两个公式的余项是相等的,
即:
并由此推得：
(2)当插值多项式从n-1次增加到n次时,拉格朗日型插值必须重新计算所有的基本插值多项式;而对于牛顿型插值,只需用表格再计算一个n阶均差,然后加上一项即可。
五、差分与等距节点插值
插值节点为等距节点：
xk =x0 +kh,(k=0,1,…,n)
其中h称为步长, 函数y=f(x)在xk 的函数值为yk =f(xk ) 。
1. 差分的概念
一阶差分:Δyk =yk+1 -yk ；
二阶差分:
一般地，m阶差分用m-1阶差分来定义：
以上定义的是前差:从xk 起向前xk+1 ,xk+2 ,… 的函数值的差，Δ称为
向前差分算子。而下面定义向后差分， ▽表示向后差分算子，
分别称为一阶，二阶,…,m阶向后差分。
类似地也可定义中心差分如下
2. 差分的性质
性质1: n阶差分是n+1个函数值的线性组合，
验证：当n=1时,
当n=2时,
当n=3时，
一般地,可用数学归纳法证明此公式。对于后差，也有类似的公式，
例如：
性质2 在等距插值的情况下, 差分和均差有如下关系：
验证: 因为
xk+1-xk = h, xk+2-xk = 2h
所以
3. 等距节点的牛顿插值公式
设等距节点xk =x0 +kh,记yk =f(xk ),(k=0,1,…,n) 。当x∈[x0 ,xn ] ，令x=x0 +th ，0≤t≤n. 例如x在x2 ,x3 的中点时, x=x0 +2.5h. 将牛顿插值公式中的均差用差分(性质2的公式)代替,而
x-xk =(x0 +th)-(x0 +kh)=(t-k)h,
从而, 牛顿插值公式在等距插值节点下的形式为:
余项为:
这是等距牛顿向前插值公式。
下面来推导等距牛顿向后插值公式：令等距牛顿向后插值公式
x=xn+th (-n≤t≤0),
这时
xn-k =xn -kh, x-xn-k =(t+k)h;
余项为：
例4:设y=f(x)=ex插值节点为 x=1,1.5,2,2.5,3相应的函数值如下
1表, 求f(2.2)。
解：精确值
f(2.2)=e2.2 =9.025011。
我们先用等距牛顿向前插
值公式求f(2.2)。此时,
h=0.5,x=2.2=1+2.4h
故t=2.4,于是
求N3(2.2)时,在N2(2.2) 后加一项：
所以
N3(2.2) = N2(2.2)+0.16623=9.03855
求N4(2.2)时，在N3(2.2) 后加一项：
所以
N4(2.2)=N3(2.2)-0.01618=9.02237
R2=0.15269 , R3=-0.01354 ,R4=0.00264
下面我们用等距牛顿向后插值公式求f(2.2). 此时,x=2.2=3-1.6h
故t=-1.6,于是
求N3(2.2)时,在N2(2.2) 后加一项：
所以
N3(2.2)=N2(2.2)+0.07831=9.01159
所以
N4(2.2)=N3(2.2)+0.0107847=9.0223747
R2=0.091731 , R3=0.013421 ,R4=0.0026363
一、 均差
问题的背景：利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数 lk(x)(k=0,1,…,n)均要随之变化，整个公式也将发生变化， 这在实际计算中 是很不方便的，为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。
先引进 均差的概念。
设函数 f(x)在 n+1个相异的点 x0 ,x1 ,…xn 上的函数值分别为:
f(x0 ),f(x1 ),…,f(xn ),
或者记为
y0 ,y1 ,…,yn
1. 一阶 均差：称 为 f(x)关于节点 x0 ,x1 的一阶 均差, 记为 f[x0 ,x1 ] 。
2. 二阶 均差:一阶 均差 f[x0 ,x1 ],f[x1 ,x2 ]的 均差
称为 f(x)关于节点 x0 ,x1 ,x2 的二阶 均差，记为: f[x0 ,x1 ,x2 ] 。
3. n阶 均差：递归地用n-1阶 均差来定义n阶 均差，
称为f(x)关于n+1个节点x 0 ,x 1 ,…，x n 的 均差。
二、 均差的性质
1. 性质1:n阶 均差可以表示成n+1个函数值y 0 ,y 1 ,…,y n 的线性组合, 即:
例:
2. 性质2(对称性) 均差与节点的顺序无关:
f[x 0 ,x 1 ] =f[x 1 ,x 0 ] ，
f[x 0 ,x 1 ,x 2 ]=f[x 1 ,x 0,x 2 ]=f[x 0 ,x 2 ,x 1 ]
这一点可以从性质1看出。
3. 性质3 若f(x) 是x的n次多项式, 则一阶 均差f[x,x 0] 是x的n-1次多项式,二阶 均差f[x,x 0,x 1] 是x的n-2次多项式;一般地,函数f(x)的k阶 均差f[x,x 0,…,x k-1 ] 是x的n-k次多项式(k≤n), 而k>n时, k阶 均差为零。
三、利用 均差表计算 均差
利用 均差的递推定义,可以用递推来计算 均差。如下表：
如要计算四阶 均差,应再增加一个节点,表中还要增加一行。
例1:已知
xi 1 3 4 7
f(xi ) 0 2 15 12
计算三阶 均差 f[1,3,4,7] 。
解：列表计算
xi f(xi ) 一阶均差 二阶均差 三阶均差
1 0
3 2 1
4 15 13 4
7 12 -1 -3.5 -1.25
四、 牛顿插值公式
1. 牛顿插值公式的构造
因为:
所以
因为:
所以
因为:
所以
一般地,
将( n式)代入( n-1式), ...,(2式)代入(1式),(1式)代入(0式),得:
最后一项中, 均差部分含有 x,乃 是余项部分,记作 Rn(x);而前面 n+1项中, 均差部分都不含有 x,因而前面 n+1项 是关于 x的 n次多项式,记作 Nn(x),这就 是牛顿插值公式。于 是,上式成为
f(x)=Nn(x)+Rn(x) 。
例如:当 n=1时,
其中
这就 是牛顿一次插值多项式，也就 是点斜式直线方程。
当 n=2时,
其中
这就 是牛顿二次插值多项式。显然, N2(x0 )=f(x0 ) ,
即 N2(x)满足二次插值条件。
例2 已知
求满足以上插值条件的牛顿型插值多项式。
解 在例1中, 我们已计算出:
则牛顿三次插值多项式为:
例3 已知 f(x)在六个点的函数值如下表，运用牛顿型插值多项式
求f(0.596)的近似值。
欲求 N4(x) ,只需在 N3(x)之后再加一项:
故
N4(0.596)=0.6319145+0.0000034=0.6319179 。
2. 拉格朗日插值与牛顿插值的比较
(1) Pn(x)和 Nn(x)均 是 n次多项式, 且均满足插值条件:
P(xk )=Nn(xk )=f(xk ),k=0,1,2,…,n 。
由多项式的唯一性, Pn(x)≡Nn(x) ,因而,两个公式的余项 是相等的,
即:
并由此推得：
(2)当插值多项式从n-1次增加到n次时,拉格朗日型插值必须重新计算所有的基本插值多项式;而对于牛顿型插值,只需用表格再计算一个n阶 均差,然后加上一项即可。
五、 差分与等距节点插值
插值节点为等距节点：
xk =x0 +kh,(k=0,1,…,n)
其中 h称为步长, 函数 y=f(x)在 xk 的函数值为 yk =f(xk ) 。
1. 差分的概念
一阶差分: Δyk =yk+1 -yk ；
二阶差分:
一般地，m阶差分用m-1阶差分来定义：
以上定义的 是前差:从 xk 起向前 xk+1 ,xk+2 ,… 的函数值的差， Δ称为
向前差分算子。而下面定义向后差分， ▽表示向后差分算子，
分别称为一阶，二阶,…, m阶向后差分。
类似地也可定义中心差分如下
2. 差分的性质
性质1: n阶差分 是n+1个函数值的线性组合，
验证：当 n=1时,
当 n=2时,
当 n=3时，
一般地,可用数学归纳法证明此公式。对于后差，也有类似的公式，
例如：
性质2 在等距插值的情况下, 差分和 均差有如下关系：
验证: 因为
xk+1-xk = h, xk+2-xk = 2h
所以
3. 等距节点的牛顿插值公式
设等距节点 xk =x0 +kh,记 yk =f(xk ),(k=0,1,…,n) 。当 x∈[x0 ,xn ] ，令 x=x0 +th ，0≤t≤n. 例如 x在 x2 ,x3 的中点时, x=x0 +2.5h. 将牛顿插值公式中的 均差用差分(性质2的公式)代替,而
x-xk =(x0 +th)-(x0 +kh)=(t-k)h,
从而, 牛顿插值公式在等距插值节点下的形式为:
余项为:
这 是等距牛顿向前插值公式。
下面来推导等距牛顿向后插值公式：令等距牛顿向后插值公式
x=xn+th (-n≤t≤0),
这时
xn-k =xn -kh, x-xn-k =(t+k)h;
余项为：
例4:设 y=f(x)=ex插值节点为 x=1,1.5,2,2.5,3相应的函数值如下
1表, 求f(2.2)。
求 N3(2.2)时,在 N2(2.2) 后加一项：
所以
N3(2.2) = N2(2.2)+0.16623=9.03855
求 N4(2.2)时，在 N3(2.2) 后加一项：
所以
N4(2.2)=N3(2.2)-0.01618=9.02237
R2=0.15269 , R3=-0.01354 ,R4=0.00264
下面我们用等距牛顿向后插值公式求 f(2.2). 此时, x=2.2=3-1.6h
故 t=-1.6,于 是
求 N3(2.2)时,在 N2(2.2) 后加一项：
所以
N3(2.2)=N2(2.2)+0.07831=9.01159
所以
N4(2.2)=N3(2.2)+0.0107847=9.0223747
R2=0.091731 , R3=0.013421 ,R4=0.0026363
一、均差
问题的背景：利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数lk(x)(k=0,1,…,n)均要随之变化，整个公式也将发生变化， 这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。
先引进均差的概念。
设函数f(x)在n+1个相异的点x0 ,x1 ,…xn上的函数值分别为:
f(x0 ),f(x1 ),…,f(xn ),
或者记为
y0 ,y1 ,…,yn
1. 一阶均差：称为f(x)关于节点x0 ,x1的一阶均差, 记为f[x0 ,x1 ]。
2. 二阶均差:一阶均差f[x0 ,x1 ],f[x1 ,x2 ]的均差
称为f(x)关于节点x0 ,x1 ,x2的二阶均差，记为:f[x0 ,x1 ,x2 ]。
3. n阶均差：递归地用n-1阶均差来定义n阶均差，
称为f(x)关于n+1个节点x0 ,x1 ,…，xn 的均差。
二、均差的性质
1. 性质1:n阶均差可以表示成n+1个函数值y0 ,y1 ,…,yn 的线性组合, 即:
例:
2. 性质2(对称性) 均差与节点的顺序无关:
f[x0 ,x1 ] =f[x1 ,x0 ] ，
f[x0 ,x1 ,x2 ]=f[x1 ,x0,x2 ]=f[x0 ,x2 ,x1 ]
这一点可以从性质1看出。
3. 性质3 若f(x)是x的n次多项式, 则一阶均差f[x,x0]是x的n-1次多项式,二阶均差f[x,x0,x1]是x的n-2次多项式;一般地,函数f(x)的k阶均差f[x,x0,…,xk-1 ]是x的n-k次多项式(k≤n), 而k>n时, k阶均差为零。
三、利用均差表计算均差
利用均差的递推定义,可以用递推来计算均差。如下表：
如要计算四阶均差,应再增加一个节点,表中还要增加一行。
例1:已知
xi 1 3 4 7
f(xi ) 0 2 15 12
计算三阶均差f[1,3,4,7]。
解：列表计算
xi f(xi ) 一阶均差 二阶均差 三阶均差
1 0
3 2 1
4 15 13 4
7 12 -1 -3.5 -1.25
四、牛顿插值公式
1. 牛顿插值公式的构造
因为:
所以
因为:
所以
因为:
所以
一般地,
将(n式)代入(n-1式), ...,(2式)代入(1式),(1式)代入(0式),得:
最后一项中,均差部分含有x,乃是余项部分,记作Rn(x);而前面n+1项中,均差部分都不含有x,因而前面n+1项是关于x的n次多项式,记作Nn(x),这就是牛顿插值公式。于是,上式成为
f(x)=Nn(x)+Rn(x) 。
例如:当n=1时,
其中
这就是牛顿一次插值多项式，也就是点斜式直线方程。
当n=2时,
其中
这就是牛顿二次插值多项式。显然,N2(x0 )=f(x0 ),
即N2(x)满足二次插值条件。
例2 已知
求满足以上插值条件的牛顿型插值多项式。
解 在例1中, 我们已计算出:
则牛顿三次插值多项式为:
例3 已知f(x)在六个点的函数值如下表，运用牛顿型插值多项式
求f(0.596)的近似值。
欲求N4(x) ,只需在N3(x)之后再加一项:
故
N4(0.596)=0.6319145+0.0000034=0.6319179 。
2.拉格朗日插值与牛顿插值的比较
(1)Pn(x)和Nn(x)均是n次多项式, 且均满足插值条件:
P(xk )=Nn(xk )=f(xk ),k=0,1,2,…,n 。
由多项式的唯一性,Pn(x)≡Nn(x) ,因而,两个公式的余项是相等的,
即:
并由此推得：
(2)当插值多项式从n-1次增加到n次时,拉格朗日型插值必须重新计算所有的基本插值多项式;而对于牛顿型插值,只需用表格再计算一个n阶均差,然后加上一项即可。
五、差分与等距节点插值
插值节点为等距节点：
xk =x0 +kh,(k=0,1,…,n)
其中h称为步长, 函数y=f(x)在xk 的函数值为yk =f(xk ) 。
1. 差分的概念
一阶差分:Δyk =yk+1 -yk ；
二阶差分:
一般地，m阶差分用m-1阶差分来定义：
以上定义的是前差:从xk 起向前xk+1 ,xk+2 ,… 的函数值的差，Δ称为
向前差分算子。而下面定义向后差分， ▽表示向后差分算子，
分别称为一阶，二阶,…,m阶向后差分。
类似地也可定义中心差分如下
2. 差分的性质
性质1: n阶差分是n+1个函数值的线性组合，
验证：当n=1时,
当n=2时,
当n=3时，
一般地,可用数学归纳法证明此公式。对于后差，也有类似的公式，
例如：
性质2 在等距插值的情况下, 差分和均差有如下关系：
验证: 因为
xk+1-xk = h, xk+2-xk = 2h
所以
3. 等距节点的牛顿插值公式
设等距节点xk =x0 +kh,记yk =f(xk ),(k=0,1,…,n) 。当x∈[x0 ,xn ] ，令x=x0 +th ，0≤t≤n. 例如x在x2 ,x3 的中点时, x=x0 +2.5h. 将牛顿插值公式中的均差用差分(性质2的公式)代替,而
x-xk =(x0 +th)-(x0 +kh)=(t-k)h,
从而, 牛顿插值公式在等距插值节点下的形式为:
余项为:
这是等距牛顿向前插值公式。
下面来推导等距牛顿向后插值公式：令等距牛顿向后插值公式
x=xn+th (-n≤t≤0),
这时
xn-k =xn -kh, x-xn-k =(t+k)h;
余项为：
例4:设y=f(x)=ex插值节点为 x=1,1.5,2,2.5,3相应的函数值如下
1表, 求f(2.2)。
解：精确值
f(2.2)=e2.2 =9.025011。
我们先用等距牛顿向前插
值公式求f(2.2)。此时,
h=0.5,x=2.2=1+2.4h
故t=2.4,于是
求N3(2.2)时,在N2(2.2) 后加一项：
所以
N3(2.2) = N2(2.2)+0.16623=9.03855
求N4(2.2)时，在N3(2.2) 后加一项：
所以
N4(2.2)=N3(2.2)-0.01618=9.02237
R2=0.15269 , R3=-0.01354 ,R4=0.00264
下面我们用等距牛顿向后插值公式求f(2.2). 此时,x=2.2=3-1.6h
故t=-1.6,于是
求N3(2.2)时,在N2(2.2) 后加一项：
所以
N3(2.2)=N2(2.2)+0.07831=9.01159
所以
N4(2.2)=N3(2.2)+0.0107847=9.0223747
R2=0.091731 , R3=0.013421 ,R4=0.0026363
一、 均差
问题的背景：利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数 lk(x)(k=0,1,…,n)均要随之变化，整个公式也将发生变化， 这在实际计算中 是很不方便的，为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。
先引进 均差的概念。
设函数 f(x)在 n+1个相异的点 x0 ,x1 ,…xn 上的函数值分别为:
f(x0 ),f(x1 ),…,f(xn ),
或者记为
y0 ,y1 ,…,yn
1. 一阶 均差：称 为 f(x)关于节点 x0 ,x1 的一阶 均差, 记为 f[x0 ,x1 ] 。
2. 二阶 均差:一阶 均差 f[x0 ,x1 ],f[x1 ,x2 ]的 均差
称为 f(x)关于节点 x0 ,x1 ,x2 的二阶 均差，记为: f[x0 ,x1 ,x2 ] 。
3. n阶 均差：递归地用n-1阶 均差来定义n阶 均差，
称为f(x)关于n+1个节点x 0 ,x 1 ,…，x n 的 均差。
二、 均差的性质
1. 性质1:n阶 均差可以表示成n+1个函数值y 0 ,y 1 ,…,y n 的线性组合, 即:
例:
2. 性质2(对称性) 均差与节点的顺序无关:
f[x 0 ,x 1 ] =f[x 1 ,x 0 ] ，
f[x 0 ,x 1 ,x 2 ]=f[x 1 ,x 0,x 2 ]=f[x 0 ,x 2 ,x 1 ]
这一点可以从性质1看出。
3. 性质3 若f(x) 是x的n次多项式, 则一阶 均差f[x,x 0] 是x的n-1次多项式,二阶 均差f[x,x 0,x 1] 是x的n-2次多项式;一般地,函数f(x)的k阶 均差f[x,x 0,…,x k-1 ] 是x的n-k次多项式(k≤n), 而k>n时, k阶 均差为零。
三、利用 均差表计算 均差
利用 均差的递推定义,可以用递推来计算 均差。如下表：
如要计算四阶 均差,应再增加一个节点,表中还要增加一行。
例1:已知
xi 1 3 4 7
f(xi ) 0 2 15 12
计算三阶 均差 f[1,3,4,7] 。
解：列表计算
xi f(xi ) 一阶均差 二阶均差 三阶均差
1 0
3 2 1
4 15 13 4
7 12 -1 -3.5 -1.25
四、 牛顿插值公式
1. 牛顿插值公式的构造
因为:
所以
因为:
所以
因为:
所以
一般地,
将( n式)代入( n-1式), ...,(2式)代入(1式),(1式)代入(0式),得:
最后一项中, 均差部分含有 x,乃 是余项部分,记作 Rn(x);而前面 n+1项中, 均差部分都不含有 x,因而前面 n+1项 是关于 x的 n次多项式,记作 Nn(x),这就 是牛顿插值公式。于 是,上式成为
f(x)=Nn(x)+Rn(x) 。
例如:当 n=1时,
其中
这就 是牛顿一次插值多项式，也就 是点斜式直线方程。
当 n=2时,
其中
这就 是牛顿二次插值多项式。显然, N2(x0 )=f(x0 ) ,
即 N2(x)满足二次插值条件。
例2 已知
求满足以上插值条件的牛顿型插值多项式。
解 在例1中, 我们已计算出:
则牛顿三次插值多项式为:
例3 已知 f(x)在六个点的函数值如下表，运用牛顿型插值多项式
求f(0.596)的近似值。
欲求 N4(x) ,只需在 N3(x)之后再加一项:
故
N4(0.596)=0.6319145+0.0000034=0.6319179 。
2. 拉格朗日插值与牛顿插值的比较
(1) Pn(x)和 Nn(x)均 是 n次多项式, 且均满足插值条件:
P(xk )=Nn(xk )=f(xk ),k=0,1,2,…,n 。
由多项式的唯一性, Pn(x)≡Nn(x) ,因而,两个公式的余项 是相等的,
即:
并由此推得：
(2)当插值多项式从n-1次增加到n次时,拉格朗日型插值必须重新计算所有的基本插值多项式;而对于牛顿型插值,只需用表格再计算一个n阶 均差,然后加上一项即可。
五、 差分与等距节点插值
插值节点为等距节点：
xk =x0 +kh,(k=0,1,…,n)
其中 h称为步长, 函数 y=f(x)在 xk 的函数值为 yk =f(xk ) 。
1. 差分的概念
一阶差分: Δyk =yk+1 -yk ；
二阶差分:
一般地，m阶差分用m-1阶差分来定义：
以上定义的 是前差:从 xk 起向前 xk+1 ,xk+2 ,… 的函数值的差， Δ称为
向前差分算子。而下面定义向后差分， ▽表示向后差分算子，
分别称为一阶，二阶,…, m阶向后差分。
类似地也可定义中心差分如下
2. 差分的性质
性质1: n阶差分 是n+1个函数值的线性组合，
验证：当 n=1时,
当 n=2时,
当 n=3时，
一般地,可用数学归纳法证明此公式。对于后差，也有类似的公式，
例如：
性质2 在等距插值的情况下, 差分和 均差有如下关系：
验证: 因为
xk+1-xk = h, xk+2-xk = 2h
所以
3. 等距节点的牛顿插值公式
设等距节点 xk =x0 +kh,记 yk =f(xk ),(k=0,1,…,n) 。当 x∈[x0 ,xn ] ，令 x=x0 +th ，0≤t≤n. 例如 x在 x2 ,x3 的中点时, x=x0 +2.5h. 将牛顿插值公式中的 均差用差分(性质2的公式)代替,而
x-xk =(x0 +th)-(x0 +kh)=(t-k)h,
从而, 牛顿插值公式在等距插值节点下的形式为:
余项为:
这 是等距牛顿向前插值公式。
下面来推导等距牛顿向后插值公式：令等距牛顿向后插值公式
x=xn+th (-n≤t≤0),
这时
xn-k =xn -kh, x-xn-k =(t+k)h;
余项为：
例4:设 y=f(x)=ex插值节点为 x=1,1.5,2,2.5,3相应的函数值如下
1表, 求f(2.2)。
解：精确值 f(2.2)=e2.2 =9.025011。 我们先用等距牛顿向前插 值公式求f(2.2)。此时, h=0.5,x=2.2=1+2.4h 故t=2.4,于是 |
求 N3(2.2)时,在 N2(2.2) 后加一项：
所以
N3(2.2) = N2(2.2)+0.16623=9.03855
求 N4(2.2)时，在 N3(2.2) 后加一项：
所以
N4(2.2)=N3(2.2)-0.01618=9.02237
R2=0.15269 , R3=-0.01354 ,R4=0.00264
下面我们用等距牛顿向后插值公式求 f(2.2). 此时, x=2.2=3-1.6h
故 t=-1.6,于 是
求 N3(2.2)时,在 N2(2.2) 后加一项：
所以
N3(2.2)=N2(2.2)+0.07831=9.01159
所以
N4(2.2)=N3(2.2)+0.0107847=9.0223747
R2=0.091731 , R3=0.013421 ,R4=0.0026363