动态规划DP----背包问题总结

1. 01背包问题

• 01背包的算法思想
  
• 01背包的代码框架

  #include 
  #include 
  #include 
  #include 
  
  using namespace std;
  
  
  const int N = 1010;
  
  int n, m;  // n表示所有物品的个数  m表示背包的容量
  int v[N], w[N];  // v表示第i件物品的体积  w表示第i件物品的价值
  int f[N][N];  // 所有状态
  
  
  int main(){
      cin >> n >> m;
      for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
      
      // f[0][0~m] = 0
  
      for(int i = 1; i <= n; i++){  // 枚举所有的物品
          for(int j = 0; j <= m; j++){  // 枚举所有的体积
              f[i][j] = f[i-1][j];
              if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j-v[i]] + w[i]);  // 注意此处的判断
          }
      }
      cout << f[n][m] << endl;
      return 0;
  }
  

• 优化方法—优化成一维数组来表述集合

  #include 
  #include 
  #include 
  #include 
  
  using namespace std;
  
  
  const int N = 1010;
  
  int n, m;  // n表示所有物品的个数  m表示背包的容量
  int v[N], w[N];  // v表示第i件物品的体积  w表示第i件物品的价值
  int f[N];  // 所有状态
  
  
  int main(){
      cin >> n >> m;
      for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
      
      for(int i = 1; i <= n; i++){  // 枚举所有的物品
          for(int j = m; j >= v[i]; j--){  // 枚举所有的体积
              f[j] = max(f[j], f[j-v[i]] + w[i]);  // 注意此处的判断
          }
      }
      cout << f[m] << endl;
      return 0;
  }
  

2. 完全背包问题

• 完全背包的算法思想
  
• 完全背包的代码框架—朴素方法

  #include 
  #include 
  #include 
  #include 
  
  using namespace std;
  
  
  const int N = 1010;
  
  int n, m;  // n表示所有物品的个数  m表示背包的容量
  int v[N], w[N];  // v表示第i件物品的体积  w表示第i件物品的价值
  int f[N][N];  // 所有状态
  
  
  int main(){
      cin >> n >> m;
      for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
      
      for(int i = 1; i <= n; i++){
          for(int j = 0; j <= m; j++){
              for(int k = 0; k * v[i] <= j; k++){
                  f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j - v[i] * k] + k * w[i]);
              }
          }
      }
      cout << f[n][m] << endl;
      return 0;
  }
  

• 优化方法

  #include 
  #include 
  #include 
  #include 
  
  using namespace std;
  
  
  const int N = 1010;
  
  int n, m;  // n表示所有物品的个数  m表示背包的容量
  int v[N], w[N];  // v表示第i件物品的体积  w表示第i件物品的价值
  int f[N][N];  // 所有状态
  
  
  int main(){
      cin >> n >> m;
      for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
      
      for(int i = 1; i <= n; i++){
          for(int j = 0; j <= m; j++){
              f[i][j] = f[i-1][j];
              if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j-v[i]] + w[i]);
          }
      }
      cout << f[n][m] << endl;
      return 0;
  }
  

3.多重背包问题

• 多重背包的算法思想
  
• 多重背包的算法框架—朴素方法

  #include 
  #include 
  #include 
  #include 
  
  using namespace std;
  
  
  const int N = 110;
  
  int n, m;  // n表示所有物品的个数  m表示背包的容量
  int v[N], w[N], s[N];  // v表示第i件物品的体积  w表示第i件物品的价值,s[i]表示每件物品最多有s[i]个
  int f[N][N];  // 所有状态
  
  
  int main(){
      cin >> n >> m;
      for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];
      
      for(int i = 1; i <= n; i++)   // 枚举所有物品
          for(int j = 0; j <= m; j++)  // 枚举所有体积
              for(int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; k++) // k：表示每件物品的个数最多有s[i]个
                  f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i] * k] + w[i] * k);
  
      cout << f[n][m] << endl;
      return 0;
  }
  

• 优化方法–二进制优化方法

  #include 
  #include 
  #include 
  #include 
  
  using namespace std;
  
  
  const int N = 25000, M = 2010;
  
  int n, m;  // n表示所有物品的个数  m表示背包的容量
  int v[N], w[N], s[N];  // v表示第i件物品的体积  w表示第i件物品的价值,s[i]表示每件物品最多有s[i]个
  int f[N];  // 所有状态
  
  
  int main(){
      cin >> n >> m;
      int cnt = 0;
      for(int i = 1; i <= n; i++)
      {
          int a, b, s; // 体积 价值 个数
          cin >> a >> b >> s;
          int k = 1;  // 多重背包的二进制优化方法
          while(k <= s){
              cnt++;
              v[cnt] = a * k;
              w[cnt] = b * k;
              s -= k;
              k *= 2;
          }
          // s[i]中的剩余部分
          if(s > 0){
              cnt++;
              v[cnt] = a * s;
              w[cnt] = b * s;
          }
      }
  
      // 优化版本的01背包问题
      n = cnt;
      for(int i = 1; i <= n; i++){
          for(int j = m; j >= v[i]; j--){
              f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
          }
      }
      cout << f[m] << endl;
      return 0;
  }
  

4.分组背包问题

• 分组背包的算法思想
  
• 分组背包的算法框架—优化方法

  #include 
  #include 
  #include 
  #include 
  
  using namespace std;
  
  
  const int N = 110;
  
  int n, m;  // n表示所有物品的个数  m表示背包的容量
  int v[N][N], w[N][N], s[N];  // v表示第i件物品的体积  w表示第i件物品的价值, S[i]:每组中物品的个数
  int f[N];  // 从两维优化成一维
  
  
  int main(){
      cin >> n >> m;
      for(int i = 1; i <= n; i++)
      {
          cin >> s[i];
          for(int j = 0; j < s[i]; j++) 
              cin >> v[i][j] >> w[i][j];
      }
  
      for(int i = 1; i <= n; i++)  // 枚举每一组
          for(int j = m; j >= 0; j--)  // 改成一维表示状态时，从大到小来枚举所有体积！
              for(int k = 0; k < s[i]; k++)  // 枚举每组中每一个物品
                  if(v[i][k] <= j) f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);  // v[i][k]:第i组中的第k个物品
  
      cout << f[m] << endl;
      return 0;
  }