动态规划求解0-1背包问题（JAVA）

问题描述

给定n种物品和一个背包，物品i的重量是wi，价值vi，背包容量为C，问如何选择装入背包的物品， 使装入背包中的物品的总价值最大？对于每种物品总能选择完全装入或不装入，一个物品最多装入一次。

定义代价矩阵m与状态方程

m[i][j]

• i：物品编号，取值范围0~n-1，此处表示从i~n-1物品中进行选择
• j：背包可用容量
• m[i][j]：背包可用容量为j时，从i~n-1物品中进行选择，问题的最优代价为m[i][j]

状态方程

从编号为n-1的物品开始考虑，直至初始编号为0

m[n-1][j] = 0, 0 ≤ j

m[n-1][j] = v[n], j ≥w[n-1]

m[i][j] = m[i+1][j],    0≤ j< w[i] （物品i无法放入）

m[i][j] = max{m[i+1][j],m[i+1][j-w[i]]+v[i]}, j ≥ w[i]

m[i][j] = max{m[i+1][j],m[i+1][j-w[i]]+v[i]}：当前物品不放入，情况与m[i+1][j]情况相同，背包容量不变；确定当前物品放入背包，新容量=原容量-当前物品重量，当前价值+=当前物品价值

举例

例：n=3,w={4,1,5},v=w,C=9
m(3,9)=4=m(3,8~4) m(3,3~0)=0
m(2,9)=max(m(3,9),m(3,8)+1)=5 m(2,4)=max(m(3,4),m(3,3)+1)=4
m(1,9)=max(m(2,9),m(2,4)+5)=9

代码

public class KnapsackProb {

	/**
	 * @param args
	 * 输出：第一行：最多价值；第二行：物品编号（从0开始）
	 */
	public static void main(String[] args) {
		int n=5,C=10;//物品总数和总容量
		int[] w= {2,2,6,4,5};//重量
		int[] v= {6,3,5,4,6};//价值
//		int n=3,C=9;
//		int[] w={1,4,5};int[] v=w;
		int[][] m=new int[n][C+1];
		//m
		//第n-1个物品
		for(int j=0;j<=C;j++) {
			if(j1])
				m[n-1][j]=0;
			else m[n-1][j]=v[n-1];
		}
		//起始物品数从n-2~0
		for(int i=n-2;i>=0;i--) {
			for(int j=0;j<=C;j++) {
				if(j//放不下
					m[i][j]=m[i+1][j];
				else m[i][j]=Math.max(m[i+1][j], m[i+1][j-w[i]]+v[i]);//可放下，在放与不放中选较大
			}
		}
		System.out.println(m[0][C]);//最大价值
		//放入物品输出：若i放入了则m[i][j]>m[i+1][j]
		int j=C;
		//检查0~n-2个物品
		for(int i=0;i1;i++) {
			if(m[i][j]>m[i+1][j]) {
				System.out.print(i+" ");
				j=j-w[i];
			}	
		}
		if(m[n-1][j]!=0)
			System.out.print(n-1);

	}

}
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