「信息安全-密码与隐藏技术」RSA加密算法的实现（CPP 实现）

RSA加密算法的实现

第一步，选择密钥

• 选择两个不同的素数 p、q
• 计算公开模数r = p x q
• 计算欧拉函数 φ(r) = (p-1) * (q-1)
• 选择一个与 φ(r) 互质的量 k，即保证 gcd(φ(r), k) = 1 时，选择 k 。 可以令 sp = k 或 pk = k。

因为与 φ(r) 互质的数可能不止一个，所以 k 的值是有选择的。可以先设 k 为一个初值，并且 k < φ(r)，然后用试探法求出满足条件 φ(r) 与 k 的最大公约数为 1 的 k，即 gcd(φ(r), k) = 1。

注意，如果选一个密钥的值大于 φ(r) 的值，就不能正确求出另一个密钥。

• 根据 sk * pk ≡ 1 mod φ(r)，已知 sk 或 pk，用乘逆算法求 pk 或 sk。

第二步，加密

对明文自乘 pk 次幂或 sk 次幂，再按模 r 求余，就可得到密文。

第三步，解密

与加密过程类型，对密文自乘 pk 次幂或 sk 次幂，再按模 r 求余，就可得到明文。

关键代码：求逆元

// 拓展gcd
void exgcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y){
     
    if(!b) {
      d = a; x = 1; y = 0; }
    else{
      exgcd(b, a%b, d, y, x); y -= x*(a/b); }
}
// 求逆元
ll inv(ll a, ll p){
     
    ll d,x,y;
    exgcd(a,p,d,x,y);
    return d == 1 ? (x+p)%p : -1;
}

关键代码：平方-乘算法

使用 RSA 算法进行加密和解密时需要用到此算法，也就是我们所说的快速幂，下面给出对应模板。

#include
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a);
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;
// ¿ìËÙÃÝ
ll poww(ll a,ll b,ll mod){
     
    ll ans=1,base=a;
    while(b){
     
        if(b&1)
            ans = ans*base%mod;
        base = base*base%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int main(){
     
    cout<<poww(34,60,51)<<endl; //34
    cout<<poww(345,89,101)<<endl; //34
}

有了上述两段关键代码后，我们的整个加密算法就简单了，下面给出整体实现源码：

实现源码

#include
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a);
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn=1e3+5;
int n,m,t;
typedef long long ll;
// 拓展gcd
void exgcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y){
     
    if(!b) {
      d = a; x = 1; y = 0; }
    else{
      exgcd(b, a%b, d, y, x); y -= x*(a/b); }
}
// 求逆元
ll inv(ll a, ll p){
     
    ll d,x,y;
    exgcd(a,p,d,x,y);
    return d == 1 ? (x+p)%p : -1;
}
// 快速幂
ll poww(ll a,ll b,ll mod){
     
    ll ans=1,base=a;
    while(b){
     
        if(b&1)
            ans = ans*base%mod;
        base = base*base%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
// 加密过程
ll encryption(ll pk,ll r,ll num){
     
    return poww(num,pk,r)%r;
}

// 解密过程
ll decrypt(ll sk,ll r,ll text){
     
    return poww(text,sk,r)%r;
}
int main(){
     
    ll prime1,prime2,pk;
    cout<<"请输入测试数据组数："<<endl;
    cin>>t;
    while(t--){
     
        cout<<"请输入两个大的素数和公钥"<<endl;
        cin>>prime1>>prime2>>pk;
        // 公开模数
        ll r = prime1 * prime2;
        // 欧拉函数
        ll n = (prime1-1)*(prime2-1);
        cout<<"公开模数r为："<<r<<endl;
        ll sk = inv(pk,n);
        cout<<"私钥sk为："<<sk<<endl;
        cout<<"请输入要加密的数字串（输入0结束）："<<endl;
        ll num;
        cin>>num;
        while(num){
     
            // 密文
            int cipherText = encryption(pk,r,num);
            cout<<"加密后的密文为："<<cipherText<<endl;
            // 明文
            int plainText = decrypt(sk,r,cipherText);
            cout<<"解密后的明文为："<<plainText<<endl;
            cin>>num;
        }
    }
    return 0;
}

学如逆水行舟，不进则退