威尔逊定理证明——杨子曰数学

威尔逊定理证明——杨子曰数学

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这是一个很没有用的定理（没有任何实际应用价值，(´ｰ∀ｰ`)）：
$$(p-1)!\equiv p-1(modp)(p为质数)$$

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证明走起

设两个整数集合：$M=[2,p-2],N=[1,p-1]$

设$a\in M，x\in N$

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我们来证明第一件事情：a*x在x变化的时候模p下互不同余，即$a\ast xmodp$与x一一对应(一个显然的事实——$a\ast xmodp\in N)$

我们使用反证法：

假设存在一对$x_1>x_2$，有$a\ast x_1\equiv a\ast x_2(modp)$

然后就得到了：
$$a\ast (x_1-x_2)\equiv 0(modp)$$

观察一下这个式子：你会发现a和p互质，$(x_1-x_2)$和p互质，So，这个式子不可能成立，So，假设不成立，得证！

如果这样的话，$a\ast x$可以一一表示出集合N中的每一个元素

这就说明：对于任意一个a($a\in M$)，都存在至少一个x($x\in N$)，使得$a\ast x\equiv 1(modp)$下成立

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好的，我们开始证明第二件事情：上面那个结论中的x一定取不到1，p-1,a

我依然使用反证法

一个一个来：

令x=1，得到$a\equiv 1(modp)$，$a\in M$取不到1，假设不成立；

令x=p-1，得到$(p-1)a\equiv 1(modp)$
$$p\ast a-a\equiv 1(modp)$$
由于在模p下，So：
$$p-a\equiv 1(modp)$$
$$a\equiv p-1(modp)$$

$a\in M$取不到p-1，假设不成立；

令x=a,得到$a^2\equiv 1(modp)$
$$a^2-1\equiv 0(modp)$$
$$(a-1)\ast (a+1)\equiv 0(modp)$$

$a\in M$取不到1，也取不到p-1，假设不成立；

综上所述，对于任意一个a($a\in M$)，都存在一个x($x\in N$)，使得$a\ast x\equiv 1(modp)$下成立$x\ne 1,p-1,a$

既然这样那么x一定属于集合M

即：对于任意一个a($a\in M$)，都存在至少一个x($x\in M$且$x\ne a$)，使得$a\ast x\equiv 1(modp)$下成立

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好的，我们来证明第三件事情：上面那个结论中a和x是一一对应的关系

这个相当好证

我们还是使用反证法：

假设存在一对$a_1>a_2$，有$a_1\ast x\equiv a_2\ast x(modp)$

也就是$(a_1-a_2)\ast x\equiv 0(modp)$

因为$a_1-a_2$与p互质,x与p互质

So，假设不成立，得证，一个x只能对应一个a

然后继续使用反证法：

假设存在一对$x_1>x_2$，有$a\ast x_1\equiv a\ast x_2(modp)$

也就是$a\ast (x_1-x_2)\equiv 0(modp)$

因为a 与 p互质,$x_1-x_2$与p互质

So，假设不成立，得证，一个a只能对应一个x

综上所述，a和x一一对应

即：对于任意一个a($a\in M$)，都有且仅有一个x($x\in M$且$x\ne a$)，使得$a\ast x\equiv 1(modp)$下成立

所以我们得到的是：在集合M里是一对一对的数，每一对中的两个数在模p下互为逆元（$x_1\ast x_2\equiv 1(modp)$，逆元？？）

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终于来到了最最激动人心的时刻，我们终于要开始证明最终的结论了：$(p-1)!\equiv p-1(modp)(p为质数)$

首先，$p=2,p=3$的情况经过一番手算，发现满足结论

那我们就只要关心$p\ge 5$的情况：
$$(p-1)!=1\ast 2\ast \cdots \ast (p-1)$$
$$(p-1)!=(2\ast 3\ast \cdots \ast (p-2))\ast (p-1)$$
现在我们看第一个括号里的东西，当$p\ge 5$的时候第一个括号里必定是偶数项，而且都属于M，这样一来我们把这些数搞成一对一对，使得每一对在模p下互为逆元，这样乘起来就变成1了

哦！！！！！！！！！！

第一个括号乘起来模p就是1！！！

$(p-1)!\equiv p-1(modp)(p为质数)$得证！

OK，完事

感谢可耐滴小慕容（而又是hgoicjl讲懂了可耐滴小慕容）的讲解

参考：https://www.jianshu.com/p/ad5bb5b8fa7d

于HG机房