计算机图形学之矩阵变换的深度理解
对于图形学来说，矩阵计算不可避免，既直观又方便。而如果线性代数学的不透彻的话，那么基本上是做不到应用的，这里推荐看一下3Blue1Brown的线性代数的视频，可以对矩阵计算有深刻的认识。
之后就是应用阶段，我们这个阶段就是使用我们的矩阵来完成空间中点或向量的各种变换。
重点是理解矩阵的含义：矩阵其实是一种坐标系的转换
- 理解矩阵的几何功能:
- 矩阵是一种线性变换（线段变换后仍是线段，并且原点不会改变）
- 矩阵是一种映射，映射可以是一对一，也可以是一对多
- 矩阵是一种空间变换，每一种矩阵都是有本身的几何意义，而不是单纯的数字组合
- 理解矩阵的形式含义（矩阵在左，向量在右）：
- 方阵满秩，是进行当前空间的坐标变换，不会进行维度的升高和降低
- M×N(M>N),这种矩阵是一种升维矩阵，几何意义如3×2，就如同把一个平面进行一个方向维度的延展（当秩为2时），变成一个三维的空间，当然之前空间中的点（x,y）在提升维度的过程中在三维空间中还是一个平面分布，只是多了一个值全相等的第三个维度的值而已
- M×N(M
- 方阵不满秩，其实和之前是一样的，不满秩就说明这个维度是虚的，没什么用，如果秩是一的话就是挤压成一条线。
一.平移矩阵
当我们理解了之前的种种逻辑之后，我们终于进入到了我们的就事论事环节，首先就是我们的平移矩阵。
我们当然有理由先讨论二维的情况。
1.1二维平移矩阵
形式：平移矩阵的形式是什么样的呢。
- 一定是一个满秩的矩阵，因为我们并不会进行维度的变换。
- 坐标轴的方向和长度是不变的，因为矩阵运算的本质是改变的参考系的X，Y。
寻找矩阵：
那么什么样的矩阵能够使得一个点进行平移操作呢，因为平移操作并不会改变参考系XY的方向和单位向量的长度，所以实际上，在当前的维度中，我们并不可能做到，为什么呢？因为我们之前说过，矩阵的线性变换并不会改变原点的位置，矩阵是默认原点就是（0，0），在矩阵中填充任何的值都没办法改变这个约定熟成的决定。那么怎么做到呢，我们利用更高一维的矩阵，也就是三维矩阵进行操作，其实就是在更高的维度当中，解决我们的原点平移问题。
在这里，需要说明的是，如果我们使用的是左矩阵右向量的形式，那么构成我们全新的坐标系的向量应当是矩阵中的列。我们在增加了一个新的维度，（dx,dy,1）,dx,dy就是我们要平移的数量，而增加一个1，是因为要保持秩是3，毕竟我们是从更高一层的维度来转移我们的坐标原点的。
从几何意义来说，平移矩阵其实就是增加一个并不正交的Z轴（dx,dy,1）来进行一个坐标轴的重新定义，继而将坐标转换位置。
这里需要注意的是，点V=（x,y,1），并不是再是我们二维坐标上的点，而是以P的列向量为基所构成的三维空间上的点，只是说我们把二维的点变为V=（x,y,1）然后经过对应矩阵P的线性变换，最终得到平移点的位置。
这个过程可能有些难以理解，但是又是那么的巧妙和精确。我们所构造的矩阵P，是通过新空间中基的列向量来构成的，其中的列向量中每一个坐标值对应的数值，其实都是以我们原有的基x=(1,0),y=(0,1)来决定的。P这个矩阵，是一种线性的变换，是把用它坐标系中表示的点的位置坐标，来映射到原先我们确定它的时用的基的空间里。
这其实就是一种投影运算，对V的每个坐标值进行投影。
而p的逆矩阵，其实就是把我们的坐标映射到P的坐标中的运算。
1.2三维平移矩阵
当我们理解了二维的平移矩阵，那么，其实三维的矩阵也是一样的原理
二.旋转矩阵
旋转矩阵的基础含义就是绕原点的旋转。
2.1二维旋转矩阵
形式：旋转矩阵的形式是什么样的呢。
- 一定是满秩的，因为没有进行维度变换
- 坐标轴的长度应该是不变的，因为没有进行放缩操作，但是角度应该是要变的。
寻找矩阵：
假设我们有点v=(x,y),坐标轴是标准的坐标轴，角度是为
，是与x轴正方向的夹角。
首先，我们已经知道了一些知识，那就是寻找新的坐标轴的基，且基的长度仍是1.那么
形成的矩阵
这就是我们所需要的旋转矩阵，这里其实我们并
2.2三维旋转矩阵
对于三维来说是差不多的，不过因为旋转轴的不同，旋转矩阵的形状也是不同的
可以结构成这么一段话，对于标准坐标系而言，要将一个点V移动到V1（在这里V和V1的表示都是标准坐标系下的），那么用新基构成的矩阵P变换V，得到V1。这是因为，V在标准坐标系中的坐标和V1在P的坐标系下的坐标是一样的。
所以，矩阵变换的并不是V，而是V1。因为P的作用是把本身的坐标里的点变成标准坐标系的点的坐标，所以变换的其实不是标准坐标系里的V，而是自身的V1，因为他们两者的值是相同的，会有很强的误导性，但是并不是说他们空间中的绝对位置是相同的。仅仅因为参考系的变换，导致了他们的值相同。
三.放缩矩阵
放缩矩阵其实就很简单，图形的放缩其实就是我们本身的坐标轴的基的放缩
四.投影矩阵
将点v，投影到一个平面A，投影方向是B的法向量n。
形式：正交投影矩阵的形式是什么样的呢。
- 应该是高维矩阵，因为其中包含平移操作
- 应该是一个不满秩的矩阵，毕竟我们的坐标都放到了一个面上
- 因为是正交投影，所以我们压缩的，其实就是沿着B法向量上的点
寻找矩阵：我们设V=（vx,vy,vz）,A有一点a=（ax,ay,az）,面的法向量N=（Nx,Ny,Nz）
- 首先确立平面上的坐标系，通过点A，和法向量N建立坐标系（X*,Y*,Z*）.
- 其中Z是法向量N的方向，转向是没有关系的。
- 如果这么就完了并不能完成平移操作，仅仅完成的是坐标系方向的转向，位置上还需要平移
- 所以需要原点到平面的距离矢量L
- 建立最后的投影矩阵
注意：我们这里所需要的，是应该求逆矩阵，当我们所需要的是投影坐标表示而不是在原先坐标系表示的时候
四.自由矩阵变换
熟练的掌握以上技巧就完美进行坐标运算