菜鸡学习数论的第五天之 最大公约数，扩展欧几里得

最大公约数与最小公倍数
  若自然数d同时是自然数a和b的约数，这称d是a和b的公约数。在所有a和b的公约数中最大的一个称为a和b的最大公约数，记为gcd(a,b)。
  若自然数m同时是自然数a和b的倍数，这称m是a和b的公倍数。在所有a和b的公倍数中最小的一个称为a和b的最小公倍数，记为lcm(a,b)。

对于任意a，b属于自然数，gcd(a,b)*lcm(a,b)=a*b

证明：

设d=gcd( a , b ),a0 = a / d,b0=b/d,gcd(a0,b0)=1,lcm(a0,b0)=a0*b0.
lcm( a , b )=lcm( a0 * d, b0 * d )=lcm(a0,b0)*d=a0*b0*d=a*b/d
因此lcm(a,b)*gcd(a,b)=a*b;

最大公约数

1).九章算术·更相减损术

对于任意a，b属于自然数，a>=b,有gcd(a,b)=gcd(b,a-b)=gcd(a,a-b)
对于任意a，b属于自然数，有gcd(2a,2b)=2gcd(a,b)

证明：

后者显然成立。
    设d是a,b的任意公约数,因为 d | a , d | b ,所以 d | (a-b)(a>=b)。
 因此d也是b，a-b的公约数。反之则成立。故a，b的公约数集合与b，a-b的公约数
 集合相同。对于a，a-b同理,最大公约数也相等。

欧几里得算法

对于任意a,b属于自然数，b不等于0，gcd(a,b)=gcd(b,a mod b).

证明：

若a<b,那么 a mod b = a，那么gcd(b,a mod b)=gcd(b,a)=gcd(a,b)
若a大于等于b，设 a = q * b + r (0 <= r <= b)，推出 r = a mod b。
             再设 d是a，b的公约数，因此可以推出 d | q * b 。
             那么可以由 d | a, d | q * b,推出 d | ( a - d * q ),
             那么 d | r => d | (a mod b)。
             因此gcd(a,b)=gcd(b,a%a);

代码如下：

int gcd(int a,int b){
     
    return b==0 ? a : gcd( b % a);
}

   欧几里得算法求最大公约数的时间复杂度为O(log( a + b))。欧几里得算法是最常用的求最大公约数的方法。但是在高精度运算当中，高精度除法(取模)不容易实现，所以我们应当考虑用更相减损法来代替欧几里得算法。

扩展欧几里得算法

对于任意的整数a和b来说，都存在 a * x + b * y = gcd ( a , b )有解。

如何求解？

                ax + by = gcd ( a , b ) = gcd( b , a % b )
b * x1 + ( a % b ) * y1 = gcd ( b , a % b )
          a * x + b * y = b * x1 + ( a % b ) * y1
          a * x + b * y = b * x1 + (a - [ a / b ] * b) * y1
          a * x + b * y = a * y1 + b * x1 -[ a / b ] * b * y1;

由上可知： x = y1 , y = x1 - [ a / b ]*y1.

那么我们可以用递归求解 a * x + b * y = gcd ( a , b )的解，负载度为lg n。

代码如下：

void extend_gcd(int a,int b,int &x,int &y){
     
	if(b==0){
     
		x=1,y=0;
		return;
	}
	extend_gcd(b,a%b,x,y);
	int tmp=x;
	x=y;
	y=tmp-(a/b)*y;
}

参考：李煜东《算法竞赛进阶指南》

道阻且长
自己选的路 跪着也要走完