cht讲算法——数论——因倍质合

因倍质合（1）小学奥数的噩梦

我觉得这篇分享配得上大佬们的赞。

因倍质合，相信都是大家小学中学时的阴影……

各种公式定理证明模型……

如果你觉得它很简单，请看下面的列表。

关于acwing

自闭内容	自闭程度	代码长短	讲课时间
试除法判定质数	1星	中等	本节课
埃氏筛质数	2星	中等	本节课
xxs筛质数	4星	较长	下节课
暴力求因（约）数	1星	较短	本节课
试除法求因（约）数	2星	中等	下节课
暴力算倍数	0.5星	极简	下节课
用类似于埃氏筛质数的方法求倍数	3。5星	emmm，较长	下节课
费马小定理求乘法逆元（补漏）	4星	较长	本节课
分解质因数	2星	中等	下节课
质数的综合应用	4星	较长-极长	以后
约数的综合应用	5星	较长	以后

表格完成。
正式开始。

$距看完最后两讲的人透露，他们的肤色跟这行字的颜色一样一样的。$

你看，脸都绿了。

1、试除法判定质数——暴力出奇迹。

首先粘上题目。
给定n个正整数ai，判定每个数是否是质数。

输入格式
第一行包含整数n。

接下来n行，每行包含一个正整数ai。

输出格式
共n行，其中第 i 行输出第 i 个正整数ai是否为质数，是则输出“Yes”，否则输出“No”。

数据范围
$$\begin{gathered} 1\le n\le 100, \\ 1\le ai\le 2\ast {10}^9 \end{gathered}$$
输入样例：

2
2
6

输出样例：

Yes
No

本题就是判断质数。
首先声明一下什么是因倍质合以及一些基础的定理的证明。
如下：

因数：

设一个数为a，则这个数的因数x满足：
$$a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}x\equiv 0$$

---

倍数：

设一个数为a，则这个数的倍数x满足：
$$x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}a\equiv 0$$

---

质数：

一个数x如果只有两个因数，则x为质数

---

合数：

一个数x如果有两个以上（不包括两个），则x为合数

---

1：

既不算质数也不算合数，因为1只有一个因数。

---

简单公式和必备知识：

1、因数个数定理

简单一句话：指数加一连成积。
这里来一个具体的例子。

前方高能！！！

$$\begin{gathered} x={p_1}^{{\alpha }_1}\times {p_2}^{{\alpha }_2}\times \cdots \times {p_n}^{{\alpha }_n} \\ 则x的因数个数=({\alpha }_1+1)\times ({\alpha }_2+1)\times \cdots \times ({\alpha }_n+1) \end{gathered}$$

---

100以内质数表：

加粗体的是质数。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99

共25个质数。
上面是手打的，并没有使用c++！！！

---

因数和定理

定理公式：

$x[n]=({p_1}^0+{p_1}^1+p_1^2+\cdots {p_1}^{a_1})\times ({p_2}^0+{p_2}^1+{p_2}^2+\cdots p_2^{a_2})\cdots ({p_k}^0+{p_k}^1+{p_k}^2+\cdots {p_k}^{a_k})$

感谢@垫底抽风帮忙调试Markdown代码！！！

这里提供一版百度百科的简洁证明：

$$\begin{gathered} 设n的分解质因数为： \\ n={p_1}^{{\alpha }_1}\times {p_2}^{{\alpha }_2}\times \cdots \times {p_n}^{{\alpha }_n} \\ 则{p_1}^{{\alpha }_1}的因数有： \\ {p_1}^0,{p_1}^1,\cdots {p_1}^{{\alpha }_1} \\ 同理，{p_x}^{{\alpha }_x}的因数有： \\ {p_x}^0,{p_x}^1,\cdots {p_x}^{{\alpha }_x} \\ 由乘法原理可得： \\ x[n]=({p_1}^0+{p_1}^1+p_1^2+\cdots {p_1}^{a_1})\times ({p_2}^0+{p_2}^1+{p_2}^2+\cdots p_2^{a_2})\cdots ({p_k}^0+{p_k}^1+{p_k}^2+\cdots {p_k}^{a_k}) \end{gathered}$$

---

100以内所有合数的分解质因数：

建议各位数学党做到秒分。
下面可能有些许笔误，欢迎各位大佬在留言区指正。
$$\begin{gathered} 4=2^2 \\ 6=2\times 3 \\ 8=2^3 \\ 9=3^2 \\ 10=2\times 5 \\ 12=2^2\times 3 \\ 14=2\times 7 \\ 15=3\times 5 \\ 16=2^4 \\ 18=2\times 3^2 \\ 20=2^2\times 5 \\ 21=3\times 7 \\ 22=2\times 11 \\ 24=2^3\times 3 \\ 25=5^2 \\ 26=2\times 13 \\ 27=3^3 \\ 28=2^2\times 7 \\ 30=2\times 3\times 5 \\ 32=2^5 \\ 33=3\times 11 \\ 34=2\times 17 \\ 35=5\times 7 \\ 36=2^2\times 3^3 \\ 38=2\times 19 \\ 39=3\times 13 \\ 40=2^3\times 5 \\ 42=2\times 3\times 7 \\ 44=2^2\times 11 \\ 45=3^3\times 9 \\ 46=2\times 23 \\ 48=2^4\times 3 \\ 50=2\times 5^2 \\ 51=3\times 17 \\ 52=2^2\times 13 \\ 54=2\times 3^3 \\ 55=5\times 11 \\ 56=2^3\times 7 \\ 57=3\times 19 \\ 58=2\times 29 \\ 60=2^2\times 3\times 5 \\ 62=2\times 31 \\ 63=3^2\times 7 \\ 64=2^6 \\ 65=5\times 13 \\ 66=2\times 3\times 11 \\ 68=2^2\times 17 \\ 69=3\times 23 \\ 70=2\times 5\times 7 \\ 72=2^3\times 3^2 \\ 74=2\times 3\times 13 \\ 75=3\times 5^2 \\ 76=2^2\times 19 \\ 77=7\times 11 \\ 78=2\times 3\times 13 \\ 80=2^4\times 5 \\ 81=3^4 \\ 82=2\times 41 \\ 84=2^2\times 3\times 7 \\ 85=5\times 13 \\ 86=2\times 43 \\ 87=3\times 29 \\ 90=2\times 3^2\times 5 \\ 91=7\times 13 \\ 92=2^2\times 23 \\ 93=3\times 31 \\ 94=2\times 37 \\ 95=5\times 19 \\ 96=2^5\times 3 \\ 98=2\times 7^2 \\ 99=3^2\times 11 \\ 100=2^2\times 5^2 \end{gathered}$$
密集恐惧症患者cht已逃走……

---

快速判断是否是100以内的质数小技巧

100以内的合数都跟2,3,5,7有关。
因为$11\times 11=121,121>100$。

---

回到刚刚那道题，我们总结一下质数的性质：

质数的性质：

1不是质数
2是质数
所有只有两个因数的数是质数。

所以我们就可以写出判断质数的最暴力的代码乐！

int is_prime(int x)
{
    if(x == 1) return 0;
    if(x == 2) return 1;
    for(int i = 2; i <= x; i ++)
    {
        if(x % i == 0) return 0;
    }
    return 1;
}

但是这么写很有可能TLE……

于是，证明又又又又又又又又又又来了……
$$\begin{gathered} 其实，一个\sqrt{x}就可以解决问题。 \\ why??? \\ （火车即将进入证明去，请大家扶稳坐好 \\ 设一个数x的其中一个约数为a，则： \\ x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}a\equiv 0 \\ x÷a必为整数。 \\ 不妨设x÷a=b，则: \\ x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b\equiv 0 \\ a\times b=x \\ \because 对与x的每一个约数a，都能找到这样的一个b。 \\ \therefore 因数成对出现 \\ 既然x的约数成对出现，判断质数时，我们不必枚举所有因数。 \\ 枚举到\sqrt{x}即可。 \end{gathered}$$
优化后的代码：

int is_prime(int x)
{
    if(x == 1) return 0;
    if(x == 2) return 1;
    for(int i = 2; i <= sqrt(x); i ++)
    {
        if(x % i == 0) return 0;
    }
    return 1;
}

刚刚那道题的完整代码：

#include
#include
using namespace std;
int f(int x)
{
    if(x == 1) return 0;
    if(x == 2) return 1;
    for(int i = 2; i <= sqrt(x); i ++)
    {
        if(x % i == 0)
        {
            return 0;
        }
    }
    return 1;
}
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    while(n --)
    {
        int x;
        cin >> x;
        if(f(x)) puts("Yes");
        else puts("No");
    }
}

---

埃氏筛质数。

首先，引入一个概念，什么叫筛质数。
其实很简单：

求1-n中的所有质数就是筛质数

这样的话我们需要把每个数都运行一遍判断质数，结果时间复杂度变成了：
$O(n\sqrt{n})$
如果n = ${10}^5$,
那运算次数就是：${10}^5\times 300$
大概是3000万次，基本要TLE，尤其要是限制再大一点，氧气臭氧都救不了你……

TLE*2
所以，数学巨佬们专门发明了几种方法筛质数，其中一个就是埃氏筛质数。
具体流程如下：

1. 开primes数组记录质数，st数组判断是否筛过，cnt记录数量。
2. 遍历2-n
3. 如果被筛过，coutinue
4. 否则标记
5. 最后把这个数的所有倍数筛掉
6. 愉快的结束了/bushi

然后就可以证明一下辣（愉快的证明又又又又又来了
$$\begin{gathered} 首先，1不会进入循环。 \\ 接着设当前枚举的数是x， \\ 首先我们证明，x是合数，x一定被筛过。 \\ 不妨设x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}a\equiv 0,a!=1,a!=x,a是质数。 \\ 如果质数不会被筛掉成立，合数被筛掉就一定成立。 \\ 接着我们尝试证明，x是质数，x没有被筛掉。 \\ 第一个枚举的数是2， \\ 2是质数。 \\ 接下来这个证明有点类似递推的思想。 \\ 首先x如果是前面已经被筛过的数的倍数，则x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}primes[i]\equiv 0, \\ 那么x则不是质数。 \\ 那我们就把这个问题转化成了：如果x前面的数筛成，那就证毕。 \\ 不停的往前推，我们最开始已经证明了2是可以成立的，所以整个可以成立。 \end{gathered}$$

以上只是自己的证明，有错误请多多指正！！！

好我们来看一下埃氏筛质数的代码：

int n, primes[1000010], cnt, st[1000010];//数据范围感人
void init(int n)
{
    for(int i = 2; i <= n; i ++)
    {
        if(st[i])continue;
        primes[cnt ++] = i;
        for(int j = i ; j <= n; j += i) st[j] = 1;
    }
}

接下来我们来看一下这道题

给定一个正整数n，请你求出1~n中质数的个数。

输入格式
共一行，包含整数n。

输出格式
共一行，包含一个整数，表示1~n中质数的个数。

数据范围
$$1\le n\le {10}^6$$
输入样例：

8

输出样例：

4

这道题是让我们统计质数个数，我们直接输出cnt即可。
这里提供一份超短代码，天梯同学注意辣！！！！

#include
int n, primes[1000010], cnt, st[1000010];
void init(int n){
    for(int i = 2; i <= n; i ++){
        if(st[i])continue;
        primes[cnt ++] = i;
        for(int j = i ; j <= n; j += i) st[j] = 1;
    }
}
int main(){scanf("%d",&n);init(n);printf("%d",cnt);}

10行。

---

暴力求约数

众所周知，约数的特点就是：
$$x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}a\equiv 0$$
所以根据这个特点，暴力！
使用暴力法的时间复杂度是：$O(n)$
不过暴力TLE，优化会管你，这种方法交会T飞……。
注意不是暴力出奇迹

TLE*3
不过那个是咱们下节课讲的，这里就不说了。
暴力的话就是写一个循环，从1-n枚举每个数。
如果这个数满足$x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}i\equiv 0$,就把这个数放进res数组里。

for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
    if(x % i == 0)
    {
        res[cnt ++] = i;
    }
}

最后要啥给啥。
比如看一下这个题

给定n个正整数ai，对于每个整数ai,请你按照从小到大的顺序输出它的所有约数。

输入格式
第一行包含整数n。

接下来n行，每行包含一个整数ai。

输出格式
输出共n行，其中第 i 行输出第 i 个整数ai的所有约数。

数据范围
$$\begin{gathered} 1\le n\le 100, \\ 2\le ai\le 2\ast {10}^9 \end{gathered}$$
输入样例：

2
6
8

输出样例：

1 2 3 6 
1 2 4 8 

这道题建议 处理
不过，该TLE还是TLE……
不过样例可以过，说明还是木有问题滴！

#include
using namespace std;
int main()
{
    long long int n;
    cin>>n;
    while(n --)
    {
        long long int x;
        cin>>x;
        for(int i = 1; i <= x; i ++)
        {
            if(x % i ==0)
            {
                cout << i << ' ';
            }
        }
        cout << endl;
    }
}

我加点优化啊等一下。
事实证明，再多的优化也挡不住算法暴力程度。

#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3,"Ofast","inline")
#include
using namespace std;
int main()
{
    long long int n;
    scanf("%lld", &n);
    while(n --)
    {
        long long int x;
        scanf("%lld", &x);
        for(int i = 1; i <= x; i ++)
        {
            if(x % i ==0)
            {
                printf("%d ", i);
            }
        }
        printf("\n");
    }
}

TLE*4
优化下一期给大家讲h。

---

费马小定理求逆元

以前我们已经讲过了快速幂，今天先来复习下。

#define ll long long
int n;
ll qmi(ll a, ll k, ll p)
{
    ll res = 1;
    while(k)
    {
        if(k & 1) res = (ll) res * a % p;
        k = k >> 1;
        a = (ll) a * a % p;
    }
    return res;
}

今天来看一下怎么求 一个数的乘法逆元。

首先看一下什么是乘法逆元。

$$\begin{gathered} 如果a\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)，希望把除法变成乘法。 \\ 找到一个数x，使得a÷b\equiv a\times x(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m) \\ 我们把x叫做b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m的乘法逆元， \\ a÷b\equiv a\times b^{-1} \end{gathered}$$

那怎么求逆元呢？答案就是快速幂和费马小定理。
接下来是一段很复杂的东西。（来源于y总视频）
$$\begin{gathered} 把等式两边同时\times b， \\ b\times \frac{a}{b}\equiv b\times a\times b^{-1} \\ a\equiv a\times b\times b^{-1} \\ \because (b,m)=1 \\ \therefore b\times b^{-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m) \end{gathered}$$
所以说，其实逆元很弱，即：
$$找到一个x，使得b\times x\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$$
然后我们今天讲m是质数的情况。
所以，我们把m改名为p。
接着，费马小定理就来了。
欢迎！！！。
接下来是实在记不住，只能给y总视频的。
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \tiems at position 372: …h_2},{h_3}这组数和a\̲t̲i̲e̲m̲s̲{h_1},a\times{h…
那我们继续推怎么算乘法逆元。
$$\begin{gathered} b^{p-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p) \\ b\times b^{p-2}\equiv (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p) \\ 所以b^{p-2}就是乘法逆元。 \end{gathered}$$
所以，快速幂就可以快速的求出这个东西。
看一下这道题

给定n组ai,pi，其中pi是质数,求ai模pi的乘法逆元，若逆元不存在则输出impossible。

注意：请返回在0∼p−1之间的逆元。

乘法逆元的定义

若整数b，m互质，并且对于任意的整数 a，如果满足b|a，则存在一个整数x，使得a/b≡a∗x(mod m)，则称x为b的模m乘法逆元，记为b−1(mod m)。
b存在乘法逆元的充要条件是b与模数m互质。当模数m为质数时，bm−2即为b的乘法逆元。

输入格式
第一行包含整数n。

接下来n行，每行包含一个数组ai,pi，数据保证pi是质数。

输出格式
输出共n行，每组数据输出一个结果，每个结果占一行。

若ai模pi的乘法逆元存在，则输出一个整数，表示逆元，否则输出impossible。

数据范围
$$\begin{gathered} 1\le n\le {10}^5, \\ 1\le ai,pi\le 2\ast {10}^9 \end{gathered}$$
输入样例：

3
4 3
8 5
6 3

输出样例：

1
2
impossible

然后我们写一遍快速幂的板子再套一下费马小定理。

#include
#include

using namespace std;

typedef long long LL;

LL qmi(int a, int b, int p)
{
    LL res= 1;
    while(b)
    {
        if(b & 1) res = res * a % p;
        b >>=1;
        a = a *(LL) a % p;
    }
    return res;
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    while(n --)
    {
        int a, p;
        cin>> a>>p;
        if(a % p == 0) puts("impossible");
        else printf("%lld\n", qmi(a, p - 2, p));
    }
    return 0;
}

好了今天的分享就到这里了。

这是我的全部分享

bye~