欧几里得算法和扩展欧几里得算法(Euclidean_Algorithm and Extended_Euclidean_Algorithm)
一、基本概念
欧几里得算法：又名辗转相除法，计算两个整数a,b的最大公约数。
扩展欧几里得算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。
二、基本性质
gcd函数的基本性质：gcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd(-a,b)=gcd(|a|,|b|)
贝祖定理： 即如果a、b是整数，那么一定存在整数x、y使得ax+by=gcd(a,b)。
三、算法
欧几里得算法
gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
证明：
将a表示为 a=kb+r，则 r=a%b , r=a-kb；
假设d为a,b的一个公约数，则a%d = 0 , b%d = 0 , 又r = a - kb，所以r % d = 0;
整理下：b % d = 0 ， r % d = 0（ (a % b) % d = 0 ）
即 d也是b和a%b的公约数，所以a和b的最大公约数也是b和a%b的最大公约数。
扩展欧几里得算法
已知：a%b=a-(a/b)*b
b*x1 + (a-(a/b)*b)*y1
= b*x1 + a*y1 – (a/b)*b*y1
= a*y1 + b*(x1 – a/b*y1) = gcd
证明：
假设 a>b,
(1) b=0 gcd(a,b) = a , ax = a , 则x=1，y=0;（这里我还是推荐不把gcd(a,0)理解成最大公约数，而是一个计算机求出来的值）
(2) 假设 ax1+by1=gcd(a,b) (方程一) bx2+(a%b)y2=gcd(b,a%b)（方程二）;由欧几里得算法gcd(a,b) =gcd(b,a%b) 得到，
ax1+by1 = bx2+(a%b)y2，即ax1+by1=bx2+(a-a/b*b)y2 ax1+by1=ay2+b(x2-a/b*y2)
四、代码
欧几里得算法
C++版本一
1. 若 r 是 a ÷ b 的余数, 则
gcd(a,b) = gcd(b,r)
2. a 和其倍数之最大公因子为 a。
#include
using namespace std;
int gcd(int a,int b)
{
if(b==0)
return a;
return gcd(b,a%b);
}
int main()
{
int a,b;
cout<<"Please enter two integers:"<>a>>b;
cout< C++版本二
1. a ÷ b，令r为所得余数（0≤r＜b）
若 r = 0，算法结束；b 即为答案。
2. 互换：置 a←b，b←r，并返回第一步。
#include
using namespace std;
int gcd(int a,int b)
{
int temp;
while(b!=0)
{
temp=b;
b=a%b;
a=temp;
}
return a;
}
int main()
{
int a,b;
cout<<"Please enter two integers:"<>a>>b;
cout<
扩展欧几里得算法
C++版本一
#include
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
int gcd=exgcd(b,a%b,x,y);
int x2=x,y2=y;
x=y2;
y=x2-(a/b)*y2;
return gcd;
}
int main()
{
int x,y,a,b;
cout<<"请输入a和b:"<>a>>b;
cout<<"a和b的最大公约数:"< C++版本二
#include
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
int x1,y1,x0,y0;
x0=1; y0=0;
x1=0; y1=1;
x=0; y=1;
int r=a%b;
int q=(a-r)/b;
while(r)
{
x=x0-q*x1; y=y0-q*y1;
x0=x1; y0=y1;
x1=x; y1=y;
a=b; b=r; r=a%b;
q=(a-r)/b;
}
return b;
}
int main()
{
int x,y,a,b;
cout<<"请输入a和b:"<>a>>b;
cout<<"a和b的最大公约数:"< 五、例题
https://codeforces.com/contest/1152/problem/C（题解：https://blog.csdn.net/weixin_43272781/article/details/89513932）
六、参考文章
https://www.cnblogs.com/haveyoueverbeen/p/4502005.html
https://www.cnblogs.com/haveyoueverbeen/p/4612753.html
https://www.cnblogs.com/haveyoueverbeen/p/4612827.html