最大子矩阵和

一个M*N的矩阵，找到此矩阵的一个子矩阵，并且这个子矩阵的元素的和是最大的，输出这个最大的值。

例如：3*3的矩阵：

 

-1 3 -1

2 -1 3

-3 1 2

 

和最大的子矩阵是：

 

3 -1

-1 3

1 2

 

 

分析： 我们已经解决了一维的问题（基础篇中的最大子段和问题），现在变成二维了，我们看看能不能把这个问题转化为一维的问题。最后子矩阵一定是在某两行之间的。假设我们认为子矩阵在第i行和第j列之间，我们如何得到i和j呢，对，枚举。  枚举所有1<=i<=j<=M,表示最终子矩阵选取的行范围。

 

我们把每一列第i行到第j行之间的和求出来，形成一个数组c,于是一个第i行到第j行之间的最大子矩阵和对应于这个和数组c的最大子段和。于是，我们的算法变为：

 

for i = 1 to M do
    for j = i to M do
        //计算第每列第i行到第j列的和
         for k = 1 to N do
            c[k] = (j == i)?a[i][k] : (c[k] + a[j][k])
         endfor
                         //求c的最大子段和 记录全局最优结果
    endfor
endfor

 

我们看看标为红色的部分 就是求每列第i行到第j行之间的所有数的和，我们没有再用一个循环求，而是随着j的增长，每次把第j行的结果叠加到之前的和上。 另外求c的最大子数组和是个线性时间算法，实际上它可以和那个k的for循环合并在一起，不过不影响时间复杂度。时间复杂度是O(M^2N)。

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;
long long a[550][550];
int main()
{
    int N,M,t;
    long long sum,ans=0;
    scanf("%d %d",&M,&N);
    memset(a,0,sizeof(a));
    for(int i=1;i<=N;i++){
        for(int j=1;j<=M;j++){
            scanf("%d",&t);
            a[i][j]=a[i-1][j]+t;
        }
    }
    for(int i=1;i<=N;i++){
        for(int j=i;j<=N;j++){
            sum=0;
            for(int k=1;k<=M;k++){
                sum=sum+(a[j][k]-a[i-1][k]);
                if(sum<0) sum=0;
                if(sum>ans) ans=sum;
            }
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}